1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类） 第 I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合1,2345,678U2,356A1,3467BAB（A） （B） （C） （D） ,5, , 2,58（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为,xy203xy6zxy（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为（A）-10（B）6（C）14（D）18（4）设 ，则“ ”是“ ”的xR21x20x（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D
2、）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦O,MNAB分别经过点 .若 ，则线段 的长为,CDE,MN2,4,3CDNE（A） （B）3 （C） （D） 810352（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在2,xyab,3抛物线 的准线上，则双曲线的方程为247y（A） （B）218x218xy（C） （D）234y243（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，R1xmf 0.5(log3)af， ，则 的大小关系为2log5bfcf,abc（A） （B） ab（C） （D） （8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数2,xf2gxbfxb
3、R恰有 4个零点，则 的取值范围是yfxgb（A） （B） 7,7,4（C） （D）0,4,2第卷二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分.（9） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 .i12iaa（10）一个几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积为 . m3m（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .2yxyx（12）在 的展开式中， 的系数为 .6142（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ，ABC,ABC,abcABC315， ，则 的值为 .2bc1os4a（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别D,2,1,60A
4、BCEF在线段 和 上, 且 ，则 的最小值为 .BC1,9BECFDEFA三、解答题：本大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13分）已知函数 ，22sini6fxxR（1）求 的最小正周期；()fx（2）求 在区间 上的最大值和最小值.f,3416. （本小题满分 13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名.从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛.（1）设 A为事件“选出的 4人中恰有 2 名种子选手，且这 2名种子选手来
5、自同一个协会” ，求事件 A发生的概率；（2）设 X为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望.17. （本小题满分 13分）如图，在四棱柱 中，侧棱1BCDA-， ， ，1A底 面 =， ，且点 M和 N分别2C5为 的中点.1DB和（1）求证： MN平面 ABCD；（2）求二面角 的正弦值；11ACB-（3）设 E为棱 上的点，若直线 NE和平面 ABCD所成角的正弦值为 ，求线段 的长131EA18. （本小题满分 13分）已知数列 满足 ，且 ，na *2 12(q)nN,naa为 实 数 ， 且 ， 23a， 成等差数列.34a5（）求 q的值和 的通项公式；n
6、（）设 ，求数列 的前 n项和.*21log,nabN b19. （本小题满分 14分）已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，2+=1(0)xya,0Fc（ -） 3点 M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆 截得的线段的长为 ， .224b4|M（1）求直线 FM的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点 P在椭圆上，若直线 FP的斜率大于 ，求直线 OP（ O为原点）的斜率的取值范2围.20. （本小题满分 14分）已知函数 ，其中 .(),nfxxR*,2nN（1）讨论 的单调性；（2）设曲线 与 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P处的切线方程为 ,求证：()yf= ()ygx=对于任意的
7、正实数 ，都有 ；x()gx（3）若关于 的方程 有两个正实数根 ，求证： fa为 实 数 12x，.21|2axn绝密启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5分，满分 40分。（1）A （2）C （3）B （4）A（5）A （6）D （7）C （8）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5分，满分 30分。（9）-2 （10） （11）316（12） （13）8 （14）156298三、解答题（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角函数的最小正周期、单调
8、性等基础知识。考查基本运算能力。满分 13分。（1）解：由已知，有=1cos(2)s3()2xxfx131cos2incos2xx3sincsin426所以， 的最小正周期()fxT（2）解：因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，f,36,64， ， .所以， 在区间 上的最大值为 ，134f12f34f()fx,334最小值为 .2（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13分.（1）解：由已知，有22348C6()5PA所以，事件 A发生的概率为 .65（2）解：随机变量 X
9、的所有可能取值为 1,2,3,4.4538C()(1,24).kP所以，随见变量 的分布列为X1 2 3 4P471随机变量 的数学期望 35124472EX（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13分.如图，以 A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 , , ,(0)(1,0)B(2)C(120)D, .12又因为 M,N分别为 和 的中点，得1, .2(,)（1）证明：依题意，可得 为平面(0,1)n的一个法向量. .由此可得ABCD52N，又因为直线 平面 ，
10、所以0MNnMABCD平面 .（2）解： ，设 为平面 的一个法向量，1(,2)(,0)11(,)xyzn1ACD则 即10,ADCn112,.xyz不妨设 ，可得 .z1(,)n设 为平面 的一个法向量，则22(,)xyzn1ACB210,ABCn又 ，得1AB(0,)20,.zx不妨设 ，可得 .2z2(,1)n因此有 ，于是 .1120cos,A1230sin,所以，二面角 的正弦值为 。11DCB3（3）解：依题意，可设 ，其中 ，则 ，从而 。,AE0,1,2E1,2NE又 为平面 的一个法向量，0,1nB由已知，得 = ，整理得 ，cos,NEnA221()132430又因为 ，解
11、得 .0,17所以，线段 的长为 .A2(18)本小题主要考查等比数列及其前 n项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分 13分.（1）解：由已知，有 ，即 ，34234534aaa4253a所以 .21q又因为 ，故 ，由 ，得 .3231qA2当 时， ；()nkN12nkna当 时， .2k所以， 的通项公式为na12,na为 奇 数 ， 为 偶 数 .（2）解：由（1）得 .设 的前 n项和为 ，则211nnlogabbnS，02213.1n nnS ，1 12上述两式相减，得，21 22.2nnn nS整理得， .14nn所以，数列 的前
12、 n项和为 ， .b124nN（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分 14分.（1）解：由已知有 ，又由 ，可得 .213ca22+abc223,acb设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 .FM(k0)FM()ykx由已知，有 + ，解得 .2|1c23（2）解：由（1）得椭圆方程为 ，直线 的方程为 ，213xycF3yxc两个方程联立，消去 y，整理得 ，解得 ，或 .2250xc5x因为点 M在第一象限，可得 M的坐标为
13、.3,由 ，解得 ，2234()0Fcc1c所以椭圆的方程为 .21xy（3）解：设点 P的坐标为 ，直线 FP的斜率为 ，得 ，即 ，,xyt1yx1tx与椭圆方程联立 消去 ，整理得 .2(1),3t223()6xt又由已知，得 ，解得 ，或 .26(1)xt120x设直线 的斜率为 ，得 ，即 ，与椭圆方程联立，整理可得OPmyx(0)mx.23mx 当 时，有 ，因此 ，于是 ，得,12(1)0ytx23x.3, 当 时，有 ，因此 ，于是 ，得1,0x(1)0ytxm23x.23,m综上，直线 的斜率的取值范围是 .OP23,23,（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.考查分类讨论思想、函数思想和划归思想.考查综合分析问题和解决问题的能力。满分 14分.（1）解：由 = ，可得 ，其中 ，且 .()fxn11()nnfxxN2n下面分两种情况讨论：当 为奇数时.n令 ，解得 ，或 .()0fx1x当 变化时， ， 的变化情况如下表：()ff,1,1,
