1、一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知2()iz=1+i（i 为虚数单位） ，则复数 z= ( )A、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i 【答案】D【解析】由题22(1)(1)(1i), 2iiiiz iz，故选 D.2、 在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图 1 所示;若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数为( )A、3 B、4 C、5 D、6【答案】B解析：由茎叶图可知，在区间 15,39
2、的人数为 20，再由系统抽样的性质可知人数为435720人. 3、设 xR，则“x1”是“ 2x1”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】：由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x1”可以推得“ 2x1”， “ 2x1”可以得到“x1” ，所以“x1”是“ 2x1”的充要条件，故选 C.4、若变量 x、y 满足约束条件1yx，则 z=2x-y 的最小值为 ( )A、-1 B、0 C、1 D、2【答案】A解析：画出可行域如图中阴影部分所示。由 得 ，平移直线，当直线2zxyxz过点 A 时， 取最小值。由
3、 得 所以 ，所以 。z1,xy0,x,1Amin201z5、执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 n=3，中输入的 S=( )A、 67 B、 37 C、 89 D、 49【答案】B解析：执行程序框图，进入循环后，的值依次为：退出循环，输出 。123,;,;,4;357SiiSi37S6、若双曲线21xyab的一条渐近线经过点（3，-4） ，则此双曲线的离心率为A、 73 B、 54 C、 43 D、 53【答案】D【解析】： 因为双曲线21xyab的一条渐近线经过点（3，-4 ） ，225349163cbacae， （ ） ， =7、若实数 a，b 满足 b，则 的最小值为( )A、 2
4、 B、2 C、2 D、4【答案】C解析：因为 ，所以 因为 ，所1ab0,b12abab以 （当且仅当 时取等号） ，所以 的最小值为 。 2ab28、设函数 ()ln1)l()fxx，则 f（x）是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数的定义域为 ， ，故函数 为(1,)()ln1)l()(fxxf()fx奇函数，当 时， ，故函数 在 上是增函数。0x 0f0,1)9、已知点 A,B,C 在圆 2y上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ，则
5、PABC的最大值为A、6 B、7 C、8 D、9【答案】B【解析】 为 的斜边，则 为圆 的一条直径，故 必经过原点，RtAA21xyAC则 ，即 ，又 ，2PCOPPOBOP所以 2PABCPOB3OP2296BOP= =7，当且仅当21961cos712cos71时取“等号” ，故 的最大值为 7.08OAC10、某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A、 B、 827 C、 D、89324(1)3(21)【答案】A解析：这个几何体的轴截
6、面如图所示，设正方形的棱长为 ，因为 ，即aCDPEABO，解得 ，所以，利用率为 。2a23a23819二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11、已知集合 U=1,234，A= 1,B=,34,则 A( UB)=_.【答案】1，2，3.解析： 。,(),2,UUCBAB12、在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C的极坐标方程为 2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为_.【答案】 21xy（ ）【解析】曲线 C 的极坐标方程为 ，所以 ，它的直角坐标方程为2sin2sin2xy， 21xy（ ） 13. 若直线 3x-
7、4y+5=0 与圆 20r相交于 A,B 两点，且 120oAOB（O 为坐标原点） ，则 r=_.【答案】2【解析】直线 3x-4y+5=0 与圆 220xyr（ ） 交于 A、B 两点，AOB=120，则AOB 为顶角为 120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线 3x-4y+5=0 的距离为 12r，代入点到直线距离公式，可构造关于 r 的方程，解方程可得答案如图直线 3x-4y+5=0 与圆220xyr（ ）交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且 AOB=120 ，则圆心（0，0）到直线 3x-4y+5=0 的距离为 12r ， 25134r， =2 .故答案为 2.14、若函数 有两个零
8、点，则实数 的取值范围是_.()2xfbb【答案】 0,解析：由函数 有两个零点，可得 有两个零点，从而可得函数()xf 2x与函数 的图像有两个交点，结合函数图像可得， 符合条件。2xyyb02b15、已知 0,在函数 y=2sinx 与 y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 =_.【答案】 解析：由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为，距离最短的两个交点一定在同一周期内，12125(),(),44kkkZ，所以 。23(三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分 12 分）某商场举行有奖促
9、销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 12,A和 1 个白球 B的甲箱与装有 2 个红球 12,a和 2 个白球 12,b的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。解：（1）所有可能的摸出结果是： 11211212,AaAbaA 2212,AbBabB（2）不正确，理由如下：由（1）知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为1212,AaAa共 4 种，所
10、以中奖的概率为 413，不中奖的概率为3，故这种说法不正确。考点：概率统计17. （本小题满分 12 分）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,tanbcA。（1）证明： sinco；（2）若 3s4C，且 为锐角，求 ,ABC。（1）证明：由 tab及正弦定理，得 sinsicoab，在 中，所以 sincoBA。sin0A（2）解：因为 si180()sincoAB si()incoiscosinAB3con4AB由（1）知 sico，因此 23sin4B，又为钝角，所以 3sin2，故 20B，由 iA知 0A，从而18()3CA，综上所述， 0,12,30,BC18. （本小题满分 12
11、 分）如图，直三棱柱 1AB的底面是边长为 2 的正三角形，,EF分别是 1,BC的中点。（1）证明：平面 AEF平面 1BC；（2）若直线 1与平面 所成的角为 45，求三棱锥 FAEC的体积。（1）证明：如图，因为三棱柱 1ABC是直三棱柱，所以 1AEB，又 是正三角形 的边 的中点，所以 C，因此 E平面 1，而 E平面 AF，所以平面 F平面 1。（2）设 AB的中点为 D，连接 1,AC，因为 B是正三角形，所以 CDAB，又三棱柱 1C是直三棱柱，所以 1DA，因此 平面 1，于是1直线 与平面 1B所成的角，由题设知 145，所以 1AD3A，在 1Rt中， 21312D，所以
12、 12FCA故三棱锥 FAEC的体积 6AECVSF。19. （本小题满分 13 分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 12,a，且 23nnaS。13,nSN（1）证明： 2na；（2）求 。（1）证明：由条件，对任意 *nN，有 23nnaS*1,()N，因而对任意 *,2n，有 1*,()，两式相减，得 13nna，即 2n，又 12,，所以 21213()3Saa，故对一切 *N， 2n。（2）解：由（1）知， 0na，所以 23na，于是数列 21na是首项 1，公比为 3的等比数列，数列 2n是首项 1，公比为 3 的等比数列，所以1123,na，于是 1221321242()
13、()nnnnSaaa 13(3)nnn 从而 12212(332(5)nnnnSa，综上所述，3225,1nnnS为 奇 数 ， 为 偶 数 。20.（本小题满分 13 分）已知抛物线 21:4Cxy的焦点 F 也是椭圆2:1yxCab(0)ab的一个焦点， 1与 2的公共弦长为 6，过点 F 的直线 l与 1相交于,AB两点，与 2C相交于 ,D两点，且 A与 BD同向。（1）求 2C的方程；（2）若 ABD，求直线 l的斜率。解：（1）由 21:4xy知其焦点 F 的坐标为 (0,1)，因为 F 也是椭圆 2C的一个焦点，所以 2ab ； 又 1C与 2的公共弦长为 26， 1与 都关于 y轴对称，且1C的方程为 21:xy，由此易知 与 的公共点的坐标为 3(,)2，2964ab，联立得 2,8，故 2C的方程为2198yx。（2）如图，设 1234(,)(,)(,)(,)AxyBD 因 AC与 BD同向，且 ACBD，所以 ，从而 3142xx，即 3412x，于是23441()()x设直线 l的斜率为 k，则 l的方程为 ykx，由 214yx得 240x，由 12,是这个方程的两根，1212,k由 289yx得 2(8)1640xk，而 34,x是这个方程的两根，
