1、1.同角三角函数基本关系式 平方关系 :sin2+cos2=1; 商数关系 :tan= .sincos2.相关角的表示 (1)终边与角 的终边关于 原点 对称的角可以表示为 +; (2)终边与角 的终边关于 x轴 对称的角可以表示为 -(或 2-); (3)终边与角 的终边关于 y轴 对称的角可以表示为 -; (4)终边与角 的终边关于 直线 y=x对称的角可以表示为 -. 23.诱导公式 (1)公式一 sin(+k 2)=sin,cos(+k 2)=cos,tan(+k 2)=tan,其中 k Z. (2)公式二 sin(+)=-sin,cos(+)=-cos, tan(+)=tan. (3
2、)公式三 sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. (4)公式四 sin(-)=sin,cos(-)=-cos, tan(-)=-tan. (5)公式五 ,.22s i n c o s c o s s i n (6)公式六 ,.22s i n c o s c o s s i n 即 +k 2(k Z),-, 的三角函数值 ,等于 的 同名 函数值,前面加上一个把 看成 锐角 时原函数值的符号 ; 的正弦 (余弦 )函数值 ,分别等于 的 余弦 (正弦 )函数值 ,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 . 2总口诀为 :奇变偶不变 ,符号看象限 ,其中 “ 奇 偶
3、 ” 是指 “ k (k Z)” 中 k的奇偶性 ;“ 符号 ” 是把任意角 看作锐角时原函数值的符号 . 2考点陪练 1.(2010 全国 )cos300 =( ) 解析 :cos300 =cos(360 -60 )=cos60 = ,故选 C. 答案 :C 31.2213.22ABCD12 4,543.3432 . s in , ta4.43nABCD 若 且 是 第 二 象 限 角 则 的 值 等 于22:,c ost431 1 ,554 5 4.5n3a3sinsinc os 解 析 为 第 二 象 限 角答案 :A 1,3 3 611.332 3 2 3.333. s in c o
4、sABCD 已 知 则 的 值 为,6 2 36 2 31.33:cos cossin 解 析答案 :B 4.点 P(tan2008 ,cos2008 )位于 ( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析 : 2008 =6 360 -152 , tan2008 =-tan152 =tan28 0, cos2008 =cos152 0, 点 P在第四象限 . 答案 :C 5 . c o s 2 s i n t a n5,11. . 2 . . 222A B C D 若 则 等 于 22222 5 ,(51,25,55.: si n 2 si n ) 1 ,ta n 25
5、.c o s si nsi n c o ssi nc o s 解 析答案 :B 类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值 解题准备 :本考点的试题难度不大 ,而对公式的应用要求准确 灵活 ,尤其是利用平方关系 sin2+cos2=1及其变形形式sin2=1-cos2或 cos2=1-sin2进行开方运算时 ,特别注意符号的判断 .如果所给的三角函数值是字母给出的 ,且没有指定角在哪个象 限 ,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值 . 【 典例 1】 (1)已知 sin= ,且 为第二象限角 ,求tan; (2)已知 sin= ,求 tan; (3)已知 sin=m(m0,m
6、1),求 tan. 1313 222 1 si n ,c ostan2 si n1,31 2 21 1 ,332., c os , tan.410,32 2 21.342.ta4, 1 nsinsinc ossin 解 为 第 二 象 限 角为 第 一 或 第 二 象 限 角当 为 第 一 象 限 角 时当 为 第 二 象 限 角 时 由 知 (3) sin=m(m0,m 1), cos= = (当 为第一 四象限角时取正号 ,当 为第二 三象限角时取负号 ), 所以当 为第一 四象限角时 ,tan= ; 当 为第二 三象限角时 ,tan= 21 sin 21 m21mm2 .1mm 反思感悟
7、 本例属同角三角函数关系式的基本题 ,关键是掌握住 “ 先平方 ,后作商 ” 的原则 ,先求与 sin的平方关系相联系的 cos,再由公式求 tan.在 (3)中 ,为第四象限角 ,但tan= ,原因是 m此时小于 0,所以形式上 tan的表达式前面仍不带负号 . 21mm类型二 诱导公式及其应用 解题准备 :诱导公式起着变名 变角 变号的作用 ,应用诱导公式 ,着眼点应放在 “ 角 ” 上 ,重点是 “ 函数名称 ” 和 “ 正负号 ” 的判断 .求任意角的三角函数值问题 ,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题 ,具体步骤是 :“ 化负为正 化大为小 锐角求值 ” . 3( )
8、( 2 )2.( ) (2,()fsi n c o s ta nc o t si n 【 典 例 】 已 知 是 第 三 象 限 角 且 31,251 f ;2 f ; 3 1860 , f .c osc os化 简若 求 的 值若 求 的 值 分析 显然应用到诱导公式 ,既可以直接从诱导公式中合理选用 ,也可以直接运用十字诀 ,一般来说用后一方法记忆负担较轻 . ( 2 ) ( 4 ) ( 3 )2 2 2( 2 ) ( 2 )2 12.f()sin c o s tanc o t sinsin c o s c o tc o sc o t sin 解 231( 3 ) ,2 2 55 1 2
9、26 , 6 .2 s i n , s i nc o s f ( )5 5 5c o s c o s (3) -1860 =-21 90 +30 , f(-1860 )=-cos(-1860 ) =-cos(-21 90 +30 ) =-sin30 = . 12 反思感悟 如何运用十字诀 ,可通过下例来体会 :设 =- 且 为锐角 ,则如图所示 ,可知 可看成是第二象限角 ,而在第二象限中余弦取负号 ,且 k=-3为奇数 . cos=cos(-3 +)=-sin. 3 ,22类型三 sin cos与 sin cos关系的应用 解题准备 :利用 sin2+cos2=1,可以得出如下结论 : (s
10、in+cos)2=1+2sincos; (sin-cos)2=1-2sincos; (sin+cos)2+(sin-cos)2=2; (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. 对于 sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子 ,已知其中一个式子的值 ,可求其余二式的值 . 【 典例 3】 已知 sinx+cosx= ,求下列各式的值 : (1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x. 12 22 s in x c o s xs in x1,211.221c o s xs in x c o s x .4 解 33331
11、s in x c o s x s in x c o s x 3 s in x c o s x s in1x c o s1 1 53 2 ;4822x 24 4 2 2 2 222 2 s i n x c o s x s i n x c o s x 2 s i n x c o s x1 2 s i n x c o s x 117;428 222222223 ta n x c o t x ta n x c o t112 2 1 6 2 1x 2 24.116s in x c o s xs in x c o s xs in x c o s x 反思感悟 平方关系 sin2x+cos2x=1把sinx
12、+cosx,sinxcosx联系起来 ,要灵活运用它们之间的变换 ,熟记立方和公式及和的立方公式 . 类型四 关于 sin与 cos的二次齐次式的求值问题 解题准备 :这类已知某个三角函数值 ,求其余三角函数值的问题的常规思路是 :利用同角间的三角函数关系 ,求出其余三角函数值 ,这就需要根据 m的取值符号 ,确定 角所在的象限,再对它进行讨论 .这样计算相当繁琐 ,而在这里灵活地运用“ 1” 的代换 ,将所求值的式子的分子 分母同除以 cosn,用 tann表示出来 ,从而简化了解题过程 ,我们应熟练掌握这种解法 .更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法 . 24. 2 si
13、n sin c o s 21,13( 1 ) ;.tantansin c o ssin c o s【 典 例 】 已 知 求 下 列 各 式 的 值 1.2133 3 52.1131a12 t nsi n c os t ansi n c os t an 解 由 已 知 得 222222222222 2 si n si n c os 2si n si n c os 2 c os3232111321322.5112si nsi n si n c os c ossi n c ostan tantan 反思感悟 形如 asin+bcos和asin2+bsincos+ccos2的式子分别称为关于 sin
14、cos的一次齐次式和二次齐次式 ,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用 . 错源一 忽视隐含的平方关系 ,扩大解的范围而致错 1 s i n3 4 2,o ,5 5 2csmmmm 【 典 例 】 已 知 其 中则 下 列 结 论 正 确 的 是A.m 3,9 B.m (-,5) 3,+) C.m=0,或 m=8 D.m=8 错解 由已知有 解得 m0一定要说明 .同样,快解法中 ,得出 sin= ,cos= 也是由 (0,)确定的 . 45 35 易丢分原因 求 sin-cos的过程中 ,若不考虑 (0,),将sin-cos变为 是不行的 . 求方程的根时 ,若不考虑 (0,),会求得 sin= ,cos= ,其结果也是两个值 . 2()sin co s4535
