1、.三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识1. 与角 终边相同的角的集合 ,2ZkS2. 三角函数的定义（六种）三角函数是 x、 y、 r三个量的比值3. 三角函数的符号口诀：一正二弦，三切四余弦。4. 三角函数线正弦线 MP= sin余弦线 OM= co正切线 AT= ta5. 同角三角函数的关系平方关系： 商数关系：倒数关系： 1cottan 1csin 1seco口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。6. 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。 k222正弦 sinsiinsisincoss余弦 cocoiin正切 tatattatatct余切 a7. 两角和与差
2、的三角函数. tan1t)tan(tsincos)cos( iini ss)s(8. 二倍角公式代换：令2 222tan1ta sincosin1cossii降幂公式 2coscsi2半角公式：1in； 2cos1cs； cos1tanosisic12ta9. 三角函数的图象和性质函数 xysinxycosxytan图象定义域 R R ZkxR,2| 且值域最值 1,1,R无最大值.2/kx时1may/时inkx2时 1maxy时in无最小值周期性 周期为 2周期为 2周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,k上都是增函数；在 3,2上都是减函数（ Zk）在 ,k上都是增函数，在 ,
3、上都是减函数（ Zk）在2,k内都是增函数（ Z）10. 函数 )sin(xAy的图象变换 0,A函数 的图象可以通过下列两种方式得到：（1） 倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的图 象 左 移 1)sin(sinxyxy)( )sin( xAy倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的（2） 图 象 左 移倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 )i(sin1xy)(sn xyA倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。4. 角的和与差
4、的相对性如： )(角的倍角与半角的相对性如： 42,5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。.6. 数形结合：心中有图，观图解题。7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。【典型例题】1. 如： abxbaxbay tn),si(cossin2（化成一个角的一个三角函数） )6sin(2cosin3 )3si(2co3i4xxy xy；例 1 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？（1） xf 22cos3sii)(（2） 1nxx解：（1）)42si(y， 2maxy，)(8Zkx83,2min Zkx（2）)42
5、sin(3y， 23maxy，)(83Zkxmin，)(8Zkx2.“1”的妙用凑一拆一熟悉下列三角式子的化简 )4sin(2cosincosin2 )42sin(coi2i1i sinco；s2cs例 2 化简 8o28i12 。答案： 4sn3. 化异为同.例 3 已知 2tan，求： （1） cosi（2 ） 22sinco3答案：（1）3；（2） 14例 4 已知2,tan，求： cosin1i2答案： 34. cosi与 cosi间的相互转化 （1）若 tin，则 21csint； 1sin2t； cosin=2t（2）若 tcosi，则 t1cosin； t2csi（3） 2ii1
6、ttan例 5 化简： 8cott。答案： 2例 6 若 在第二象限， 25cos2in，求 2cosin。答案： 235. 互为余角的三角函数相互转化若，则 cosin； sin例 7 已知 41)3si(，则)6(。答案：.例 8 求值：10cos5in4。答案： 2例 9 求值： 54sin18 。答案：6. 公式的变形及活用（1） tan1)tan(ttan（2）若2)tt4BABA例 10 计算 )45tan1(3ta)(2tn1)(ta( 。答案： 23例 11 10tan7310tan7t 。答案： 37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例 12 若2)tan(,31
7、t，则 tan 。答案：7例 13 若02cos7)cos(5，则2tant。答案： 6例 14 在 ABC中，A 为最小角，C 为最大角，且 8.0)2cos(CA， 8.0sinB，求 )2cos(CB的值。答案： 6257.8. 角的范围的限定由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。例 15 已知),0(,31cosin，求 2cos。答案： 97例 16 若 是第二象限角且 25cos2in，求 2cosin的值。解法一：利用公式i1)(si然后限定角的范围。解法二：设t2coin利用平方和求 t的值，然后限定角的范围。解法三：利用)2cos)(ins(i s，可
8、回避限定角的范围。答案： 239. 在三角形中的有关问题 180CBA； CBA180； 2CBA结论： sin)si(； cos)co(2con； 2sin例 17 已知 A、B、C 是 的内角且 2lgcoslsinlgl CBA，试判断此三角形的形状。答案：等腰三角形，B=C例 18 在锐角三角形 ABC 中，求证： Acoscsisin证明：由 2BA则 20AB故 cosin 同理 Ccosin cosin三式相加，得证。10. 形如 n2842 的化简.例 19 求值：（1） 72cos36 （2） 74cos27cs答案：（1） 4（2） 8111. 三角函数图像和性质的应用会求
9、定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套” ） ；会解简单的三角不等式、三角方程、比较大小。例 20 求下列函数的定义域。（1） )sin(colgxy（2） tan5.0答案：（1）)(2,(Zkk（2）4,),0(例 21 求下列函数的值域。（1）,0sin2xy（2）若 是锐角，则 xycosi的值域。答案：（1）31,0（2） ,(12. 可化为形如： BxAy)sin的形式（一个角的一个三角函数）例 22 已知函数 x22sincoi3co，求“一套” 。答案：)6sin(xy，定义域：R；值域： 4,0， maxy， 0in； T对称轴)(2Zk增区间： 6,3k减区间：
10、)(3,613. 函数 BxAy)sin(的图像的变换两个题型，两种途径.题型一：已知解析式 BxAy)sin(确定其变换方法变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与 的关系题型二：由函数图像求其解析式 xy)si(例 23 已知函数 )sin(xAy， （ 0,A， 2）在一个周期内，当 6x时， y有最大值为 2，当32x时， 有最小值为 2，求函数表达式，并画出函数 )sin(xAy在一个周期内的简图。 （用五点法列表描点）答案：)6sin(xy14. 可化为形如： cbtay2， D（定义域有限制的一元二次函数）例 24 求
11、函数 )os5)(3x的值域解：21,4例 25 已知 xaysinco，若记其最大值为 )(ag，求 )(的解析式。解： 41)2(si2，当 时， )(当 2a时，)(2ag当 时， .15. 周期函数与周期例 26 已知函数 )(xfy对定义域中每一个 x都有 )2(xfTf，其中 0T，则 )(xf的周期 。解：T例 27 已知奇函数 )(xfy对定义域中每一个 x都有 )()(xff成立，求其周期。解：4例 28 已知奇函数 )(xfy对定义域中每一个 x都有 )2()(xff成立，求其周期。解：8例 29 已知奇函数 )(xfy对定义域中每一个 x都有 )(13(xff成立，求其周
12、期。解：6例 30 已知奇函数 )(xfy对定义域中每一个 x都有 )(1)3(xff成立 ，求其周期。解：616. 函数与方程的思想例 31 方程 xsin10的解的个数 。解：63【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？xxf66cossin)(2. 已知 2ta，求： 22cos3sini3. 设 41cosin，则 coi 。4. 求 xxysni的最大值和最小值。5. 求值： 40cos17si)ta3(50co。6. 若sin； ),(，求 ct7. 已知 、 ),0(且 21tan， 71tan，求 2的值。.8. a为何值时方程 0co
13、s2ax有解？9. 方程 sincoax， ,有两解时求 a的值。10. 求值：（1） 80cos6402（2） 5sin811. 求下列函数的定义域。3tailgxy12. 已知函数 xx22sincosicos，当4,时，求函数的最大值和最小值及何时取到？.【试题答案】1. xy2sin431， 1may，)(2Zkxmin，)(4k2. 513. 264. 令 xtcosin， 43)1(2ty， 2,t， 43miny，2maxy5. 2 6. 347. 提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。解： 31)tan(t 1)tan()2tan( 又由2得， 40得 2则 0故328. 89,2a9. )1,(10.（1） 6 （2） 411. )2,3(),( kk（ Zk）12. 当 4x时， miny； 6x时， 4maxy选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按 ctrl 点击打开)
