1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 3 课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书( 文)、(理)4446 页)考情分析 考点新知 知道三角函数 yAsin(x)，yAcos(x)的周期为 T .2| 能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在 上的性质(如单( 2，2)调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等). 会画出 yAsin(x)的简图，能由正弦曲线 ysinx 通过平移、伸缩变换得到yAsin(x)的图象 了解三角函数的周期性. 能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在 0， 2，正切函数在 上的性质.( 2，2)
2、 了解三角函数 yAsin(x) 的实际意义及其参数 A、 对函数图象变化的影响.1. (必修 4P25 练习 2 改编)函数 f(x) sin ，xR 的最小正周期为 _3 (x2 4)答案：4解析：函数 f(x) sin 的最小正周期为 T 4 .3 (x2 4) 2122. (必修 4P39 第 2 题改编)将函数 ysinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得10各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ，所得图象的函数解析式是 _答案：ysin (12x 10)解析： 向右平移 个单位， 用 x 代替 ysinx 中的 x；10 10 各点横坐标伸长到原来的 2
3、 倍， 用 x 代替 ysin 中的 x， ysin .12 (x 10) (12x 10)3. (必修 4P45 第 9 题改编)如图，它表示电流 IAsin(t)(A0，0)在一个周期内的图象，则IAsin(t ) 的解析式为_答案：I sin3 (1003 t 3)解析：由图可知 A ， .代入 和 ，解得 ，于是 I sin .31003 (150，0) (120，0) 3 3 (1003 t 3)4. (必修 4P32 练习 6 改编)函数 ycos 的单调递增区间是_(2x 4)答案： (k Z) 38 k，8 k解析：2k2x 2k，即 kx k(k Z )，4 38 8所求单调
4、递增区间是 (kZ ) 38 k，8 k5. (必修 4P32 第 5 题改编)函数 y2sinx 的值域是_( 6 x 23)答案：1，2解析：根据正弦函数图象，可知 x 时，函数取到最小值 1；x 时，函数取到最大值 2.6 21. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数 yf(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，则称 yf(x) 为周期函数；函数 yAsin(x ) 和 yAcos(x)的周期均为 T ；2|函数 yAtan(x)的周期为 T |2. 三角函数的图象和性质三角函数 ysinx ycosx ytanx图象定义域
5、R R x|xk 2， k Z)值域和最值1，1 最大值：1最小值：11，1 最大值：1最小值：1R无最值周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称性关于xk (kZ)对称2 关于 xk(kZ)对称对称中心是(kZ)(k2，0)单调区间在2k ，2k 2 2(kZ) 上单调递增在2k ，2k 2 2(kZ )上单调递减2k ，2k2(kZ )单调递增2k，2k(kZ)单调递减在(k ，k )2 2(kZ)上单调递增3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数 ysinx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、 、( ，0)、 、 (2，0)(2， 1) (32
6、， 1)余弦函数呢？4. 函数 yAsin(x)的特征若函数 yAsin(x) (A0，0，x( ， )表示一个振动量时，则 A 叫做振幅，T叫做周期，f 叫做频率， x 叫做相位， 叫做初相2 1T备课札记题型 1 依据三角函数的图象求解析式例 1 (2013南京三模)已知函数 f(x)2sin(x )( 0)的部分图象如图所示，则 _答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为 T，T3， .158 ( 38) 34 23 23变 式 训 练已知函数 yAsin(x)(A 0，0，| | )的部分图象如图所示，则 _ 2答案：3解析：由图知，A2，将(0， )、 代入函数，得2 (12，
7、2) 2sin(12w ) 2，2sin 2， ) 4， 3.)题型 2 三角函数的图象变换例 2 为了得到函数 y2sin (xR )的图象，只需把函数 y2sinx(xR)的图象上所有的点经(x3 6)过怎样的变换得到？解：y2sinx 用 6xp+代替 x，左移 6p个单位y2sin 再用 3代替 x，各点横坐标伸长到原来的 3 倍。(x 6)y2sin .(x3 6)备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知函数 f(x) 2 sin cos sin(x)3 (x2 4) (x2 4)(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 若将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象
8、，求函数 g(x)在区间0，上的最大值 6和最小值解：(1) 因为 f(x) sin sinx cosxsinx2 2sin ，所以 f(x)的最小3 (x 2) 3 ( 32cosx 12sinx) (x 3)正周期为 2.(2) 将 f(x)的图象向右平移 个单位，得到函数 g(x)的图象， g(x)6f 2sin 2sin . x0， x ，(x 6) (x 6) 3 (x 6) 6 6，76 当 x ，即 x 时，sin 1，g(x)取得最大值 2.6 2 3 (x 6)当 x ，即 x 时， sin ，g(x) 取得最小值 1.6 76 (x 6) 12题型 3 五点法作图例 3 已
9、知 a(2cosx，cos2x)，b(sinx， )，f(x)ab.3(1) 求 f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；(2) 说明它可以由函数 ysinx 的图象经过怎样的变换得到解：(1) f(x)absin2x cos2x2sin ，周期 T，振幅 A2.列表从略，图象如下：3 (2x 3)(2) f(x)可以由 ysinx 的图象上各点右移 个单位后，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标缩短到3原来的 而得到12备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知 f(x)cos(x) 的最小正周期为 ，且 f .(0， 2 ，求 x 的取值范围22解：(1) 周期 T ，2，2f
10、cos cos sin ， ，(2x 3) 222k 0 ， 0，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范围是(x 4) ( 2， )_答案： 12，54解析：由 2k 0， 2 2 4 4 32 12 54 .12 544. (2013苏北四市期末 )已知角 的终边经过点 P(1，1) ，点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数 f(x)sin(x)(0)图象上的任意两点若 |f(x1)f(x 2)|2 时，|x 1x 2|的最小值为 ，则 3f _( 2)答案：22解析：结合三角函数图象，知道函数的最小正周期为 ，3，角 的终边经过点 P(1，1)，取23 ，f(x)
11、sin ，f sin .4 (3x 4) (2) 54 221. 已知函数 yAsin(x)(A0，0，0 )的两个相邻最值点为 、 ，则这个函(6， 2) (23， 2)数的解析式为_答案：y2sin (2x 6)解析：A2，相邻最值点相距半个周期，即 ，T，即 2，则函数解析式为T2 23 6 2y2sin(2x)，点 在函数图象上，22sin ，(6，2) (3 )即 2k ，得 2k ，kZ，3 2 6 函数的解析式为 y2sin .(2x 6)2. (2014泰州期末)已知函数 f(x)2sin .(2x 4)(1) 求函数 yf(x) 的最小正周期及单调递增区间；(2) 若 f ，
12、求 f(x0)的值(x0 8) 65解：(1) T ，增区间为 ，kZ.22 38 k，18 k(2) f ，即 sin(2x0) ，所以 cos(2x0) ，f(x 0)2sin (sin2x0cos2x 0)(x0 8) 65 35 45 (2x0 4) 2或 .25 7253. 已知 a0，函数 f(x)2asin 2ab，当 x 时，5f(x)1.(2x 6) 0， 2(1) 求常数 a、b 的值；(2) 设 g(x)f 且 lgg(x)0，求 g(x)的单调区间 (x 2)解：(1) x ， 2x .0，2 6 6，76 sin ，(2x 6) 12，12asin 2a，a，f(x)
13、b，3ab(2x 6)又5f(x) 1，b5 ，3a b1，因此 a2，b5.(2) 由(1)知 a 2，b5， f(x)4sin 1，(2x 6)g(x)f 4sin 14sin 1.(x 2) (2x 76) (2x 6)又由 lgg(x)0，得 g(x)1， 4sin 11，(2x 6) sin ，(2x 6) 122k 2x 2k ，kZ.6 6 56由 2k 2x 2k (kZ )，得 g(x)的单调增区间为 (kZ)6 6 2 (k，k 6由 2k 2x 2k ，得 g(x)的单调减区间为 (kZ)2 6 56 k 6，k 3)4. 设 a ，b(4sinx，cosxsinx)，f
14、(x)ab.(sin2 2x4 ， cosx sinx)(1) 求函数 f(x)的解析式；(2) 已知常数 0，若 yf(x)在区间 上是增函数，求 的取值范围； 2， 23(3) 设集合 A ，Bx|f(x)m|2 ，若 A B，求实数 m 的取值范围x|6x23)解：(1) f(x)sin 2 4sinx(cosx sinx)(cosx sinx) 2x44sinx cos2x1 cos(2 x)22sinx(1sinx)12sin 2x 2sinx1，所以所求解析式为 f(x)2sinx1.(2) f(x) 2sinx 1， 0，由 2k x2k ，2 2得 f(x)的增区间是 ，kZ.
15、2k 2，2k 2f(x)在 上是增函数， 2，23 . 2，23 2，2 且 ，2 2 23 2 .(0，34(3) 由|f(x)m|2，得2f(x) m 2，即 f(x) 2mf(x) 2.A B，当 x 时，6 23不等式 f(x)2 mf(x) 2 恒成立f(x) max2mf(x) min2，f(x) maxf 3，f(x) minf 2，(2) (6)m(1，4) 1. 求形如 yAsin(x )k 的单调区间时，只需把 x 看作一个整体代入 ysinx 的相应单调区间内即可，注意先把 化为正数求 yAcos(x)和 yAtan(x ) 的单调区间类似2. 求函数 y Asin(x
16、)(A0，0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定 A，由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 ，但由条件求得 yAsin(x )(A0， 0)的解析式一般不唯一，只有限定 的取值范围，才能得出唯一解3. 由 ysinx 的图象变换到 yAsin(x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换) ，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换) 再相位变换，平移的量是 (0)个单位原因在|于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x 加减多少值请 使 用 课 时 训 练 （B）第 3课 时 （见 活 页 ）.备课札记
