1、绝密启用前20年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷（山东）数学一、选择题：本共8小题，每5分共40.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合目要求的.1.设集13Ax24Bx，则AB（）2.23xC.4x D142i=1A. B.1C.i D.i36名同学到甲、乙丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲安排1名，乙场馆安排2，安排3名则不的安排方法共有（）A.10种B.90种C.60种D.30种4日晷是中国古代用来测定时间仪器利用与晷面垂直的针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个（球心记为O），地球上一点A纬度是指OA与地球赤道所在平面所角，点A处的水平面是指过点A且平在处放置一个日晷
2、，若与赤道在行处的纬度北40则处水成角为（）A.20B.40C.50D.905某中学的生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，6%的学生喜欢足球，82%喜欢游泳则该学既喜欢足球又数占该校总数比例是（）A.62B.56%C.46%D.42%基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参.再生指一个感染者传的平均人，指相邻两传染所需平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指模型：(e)rtIt描述累计感例数It随t（单位：天）的变化规律数增长率r0RT近似满足01RrT.有者于已据估计出03.28R6T.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20
3、.69）（）A.12天B.18天C.25天D.35天7已知P是边长为2的正六边形ACDEF内一点，则APBur取值范围.()2,6.(6,2).(2,4).(4,6)8若定义在R奇函数fx在,0)单调递减且20f满足10 xf的x取值范围 （）A.)1,3,U B.3,1,0UC,0, D,3二、选择题：本共4小题，每5分共20.在每小题给出的选项中，有多符合题目要求.全部对的得5有选错的得，部对得3分.9.已知曲线22: 1Cmxny （）A若0n则是椭圆其焦点y轴上B.=，半径为nC0mnC双曲线，渐近方程myxnD.若则是两条直10下图是函数 sinyx的部分图像则six（）A.sin(
4、3x）B.sin(2)3xCcos(26 D5cos()61.已知0a，b且1ab，则（）A21B.12abC.22loglogabD2ab12信息熵是论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2Ln且1()0(1,2,)ni iiPXipi p，定义信息熵21()logniiiHXp（）A.若1n，则0HXB2随着1p的增大而C.1(,2,)ipinn，则HXn增大D.若2nm，随机变量Y所有可能的取值为1,2,m，且21()(,2,)jjPYjpm，则HXY三、填空题：本共4小题每5分共20.13.斜率为3的直线过抛物C：24yx的焦点且与C交于A，B两点则AB_4将数列21n与
5、3n公项从小到大排列得数nana的前n项和为_15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，截面如图所示O为圆孔及轮廓弧AB所在圆的心A是圆弧B直线AG的切点B是弧AB与直线C切点，四边形DEFG为矩CDG垂足为C3an5tODCHDG，12 cmEF2 cDEA到直线和EF的距离均7 cm圆孔半径1 cm则中阴影部分的面积为_2cm16.已知直四棱柱11ABCDB的棱长均为2，60BAD以1D为球心，5半径的球面与侧1交线_、解答题：本共6小题，70分解答应写出文字说明、证过程或演算步骤17.在3acsin3cA3cb这三个条件中任选一个补充在下面问题中若中的三角形存在求c的值；若问的角形不存
6、在，理由问是否BC它内ABC对边分别为abc且sin3sinABg20，6C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计18.已知公比大于1的等数列na满足2420a，38a（）求na通项式；2记mb为n在区间*(0,()mN中的项个数求列mb的前10项和10S19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了10天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3g/m）得下表：2P.50,5(50,1(150,470,3 32184(5,7 6 12(,1370（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过5，且2SO浓度不超过15”的概率；2根据所给数，完
7、成下面的列联表：2SOPM2.50,15(150,470,7(5,1（3）根据2中的列联表，判断是否有9%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()nadbcKbcd，2()PKk0.50.10.1k3.8416.35.8220.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与PBC的交线为l（1）证明：平；2已知1PA，Ql上点求PB与QCD所成角的正弦值最大21.已知函数1()elnlxfxaxa（）当ea时，求曲线yf在点1,f处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；2若fxa的取值范围2.已知椭圆C：221(0)xyabab的离心率为2
8、，且过点2,1A（1）求的方程2点M，N在上且AMNADMN垂足证明：存在定点Q，使得DQ为定值20年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷（山东）数答案解析一、选择题1【答案】C解析1,3(2,4)1,)ABUU，故选C考点集合并查能力基本分析求解2D【解析】2122 51iii ii ，故选D考点复数除法查能力分求解3答案C【解析】首先从6名同学中选1去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2去乙场馆，方有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆故不的安排方法共有126510C种故：C考点分步计数原理和组合计算查能力运算求解4【答案】B解析画出截面图如下所示，其中CD是赤道所在平面的截线；
9、l是点A处的水平面截线，依题意可知OAl；B晷针直线m晷，依题意晷和赤道行，晷针与垂直根据平的性质定理可得知/、根据垂直定义可得ABm由于40AC/mCD以40OAGC90OGAEBGAE，所BE也即针与点A处水面所成角为40故选B【考点】中国古代数学文化，球体有关计算，涉及平面行，线垂直的性质5答案C解析记“该生喜欢足”为事件A“该中学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学或游泳B既足球又AB则()0.6PA()0.82P0.96PAB所以()P()()B0.6960.4，所以该中学既喜欢足球又欢游泳的数占校学总数的比例4%故选C【考点】事件概率公式6答案B【解析】因为03.28R，6T01RrT
10、，所以3.2810.386r，所以0.38rttIte，设在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间为1t天则10.38()0.382t tee所以10.382te10.38ln2t1ln20.69.8.38t故选：B【考点】指数型函模的应用查能力运算求解7答案A【解析】ABur的模为2，根据正六边形的特征，可以得到APur在B方向上的投影取值范围是(1,3)，结合向量数积定义式知APBur等于模与APurB的乘积所以PABur取值范围是()2,6故选：【考点】有关平面查能力运算求解8答案D解析因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)上单调递减，且(2)0f所以()fx在(0,)上也
11、是单调递减，且(2)0f，所以当(,)x时，当(2,0)(,)x时所以由(1)xf可得：21012xx或01212xx或0 x解得0 x或3x所以满足()xf的x取值范围是,0,3故选：D【考点】函数奇偶性与单调解抽象函数不等式查能力分类讨论思想方法二、选择题9答案ACD解析对于，若0mn则221mxny可化为2211xymn，因为0mn，所以1mn即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B若0则221xny可化为21xyn此时C圆心原半径为nB不C，0mn221xny可化为2211xymn，此时曲线C表示双，由220mxny可得yn，故C正确；对于D，若0mn，则221mxny可化为2
12、1yn，ny此时曲线C表示平行于x轴的两条直线故D正确；选ACD【考点】曲方程特征查能力运算求解10答案BC解析由函数图像可知：2362T，则22T，所以不选A，当253612x时，1y53212kZ解得：23kkZ即函数的解析式为：2sinsin2cos2sin236263yxkxxx而5cos2cos266x，故选：BC【考点】诱导公变换查能力运算求解1答案ABD解析对于，222 211abaaa2112a，当且仅12ab时等号成立故A正确；对于B，b所以122ab故B正确；对C 22222 21logloglogloglog4aabab 1ab时等号，不对于D因为2112ababb，所以
13、2ab，当且仅12ab，等号成立故D正确；选：ABD【考点】式的性质查能力运算求解12答案AC解析对于项，若1n则1,ip，所以21log0HX，所以A选项正确B选2n1,2i2 11121logppp ，当14p时2213loglog44HX 当13p4时223ll44 两者相等，所以B项错误对于C选项，若,2,iinn，则22211logloglogHXnnn 则HX随着的增大而增大，所以C选项正确对于D选若m随机变量Y的所有可能取值为1,2,m且21jmjPYjp（1,2,j）22 21 11loglogmiiii i iHXpp 1222212221 11 1loglogloglogm
14、mmmppppp p 122212 1212 21 1l l logm mm m mHY pp L1222 212 2212 21 2112loglog loglmmm m mpppp p 由于0,ii，所以21iimip，所以2221llogi imip，所以22211loglogi ii imippp HXYD选项错误故：AC【考点】新定义“信息熵”的理解和运用查能力分析、思考决问题三、填空题13答案163【解】抛物线的方程为24yx，抛物线的焦点F坐标为(1,0)，又直AB过焦点F且斜率3直AB方程：3yx代入消去y并化简得21030 x法一：得12,3x所以21216|13|3kx解二
15、0640，设12(,)(,)AxyBy，则120 x，过,AB分别作准线1x的垂足分别为,CD如图所示12| 1FACBDxx126+=3x故答案为：163【考点】抛物线焦弦长查能力运算求解1423n解析因数列1是以为首项，2公差的等数列，32n是以1首项，以为公差的等所这两个数列共所构成新a为6，na的前和2(1)1632nn故答案：23n【考点】比数列通项式和n公式【考查能力】运算求解15答案542解析设OBAr，由题意7AMN，12EF所以5NF，因为5AP所以45GP因为/BHDG4AHOG与圆弧相切于点所以OA即为等腰直角三形；在直角QD中25Or27Qr3tan5C，35212rr
16、，解得2r等腰OAH的面积为1242S；扇形AOB的面积221334S所以阴影部分为12542S故答案为：542【考点】三角函数在实际中应用查能力运算求解16答案2解析如图：取1BC的中点为E，1B的中点为F，1C的中点为G，因60AD直四棱柱ADB棱长均2所以1DBC为等边三角形，所以1311C又柱11ADBC直四棱柱以1B平面BC所B111以1E侧面1BC设P为侧面1BC与球的交线上点，则1DEP，因球的半径5，13DE所以221|532PDE，所以1 到的距离为|2EFG侧面1BC与球交线是扇形FG的弧为114BCE2FEG，根据长公式可得22故答案：2【考点】直棱柱的结构特征，直线与平
17、面垂的判定查能力化归与转数形合运算求解四、解题17答案法一：由sin3sinABg20可得：3ab，不妨设3,0amb，则：22 22 2coscabaCmm即c选择条件的解析据此可得233ac1m此时1cm：2 223osbcaAbc，则：213sinA，时：3sin2cm，则：23cm选择条件的解析可得1cmbcb与条件3cb矛盾问题中的三角形不存在法二3,6sinAsinBCACsin3si si，31sin 3sin3sin cos 22ACAA，si cos AA，tan 3A23A6B，若选3abc2c1c；sin cA则32c3;若选与条件3b矛盾【考点】正弦定理、余三角恒等变换
18、查能力化归与转，运算求解18答案（1）由于数列na是公比大于1的数列，设首项为1a公比q，依题意有3112208aq得12,q或1132,aq（舍）所以2n数列na的通项公式为2na（2）由于1234567,4,8,16,23,4,218，1b对应的区间为：0,1，则10b；23,对应区间分别：0,2,，则23b即有个；4567, ,40,5,60,7则45672bb即有2个；8915,bb的为,8,9,15，89153，31673, 0,16,7,031617314bb424；3263,bb对应的区间分别为：0,32,3,0,63，则323635bb，即有52个5；6410, ,64,5,1
19、64651037个所以234510 2637480S【考点】等比数列基本量的计算查能力分析思考与解决问题能力19答案（1）0.642见3有【解】1由表格可知，该市10天中，空气的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过50的天数326864所以该市一天中，空气的2.PM过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100；（2）所给据得2列联表：2SO2.5PM0,15150,47合计0,76468075,11510102合计742610（3）根据2列联表中的数据可得2 22()100(6101610)()()80207426nadbcKabcdacbd 307.486.35481，
20、因为临界值知，有9%把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO有关【考点】古典概型率公式查能力逻辑推理运算求解20答案（1）证明：在正方形ABCD中/ADBC因AD平面PBC，平面PBC，所以/AD平面PBC，又因为AD平面P，PIl所以/ADl四棱锥底ABCD是正方形,l且P所以,l因为IP；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz因为1PDA，则有(0,),(0,1),(,0),(,01),(,0)DCAPB，设(,01)Qm，则有(0,1),(,01),(1,)DCDQmPBururur，平面C的法向量为,nxyz，0DnQur即0ymxz令1x，则z所以平面QCD的一个法向量为(1,0)
21、nmr，则210cos,=31nPBmnruru根据直线的方向量与法向成角余弦值绝对即直线与平面所成角的正弦值，所以线平面所角的正等于2|1|cos,|3mnPBru 2231m2 23 |36111113，当且仅1m时取号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值最大为【考点】行判定和性质查能力推理论证，运算求解抽象概括21答案（1）()ln1xfeQ 1()xfe，(1)kfe()feQ切点坐标为e,函数fx在1,f处的线方程1()(1)yex即12yex，切线与轴交分别2(0,)(,0)e所求三角形面积为2|=1e；（2）解法一：1()lnlxfaeaQ ，1()xfae，且0设()()g
22、xf则12()0,xgaeg在(0,)上单调递增即f在0,上单调递增，当1a时01f1minfx1fx成立a1ae 1()()()0affea存在唯一0 x，使得0100()xfxe，且当0(,)x时()0fx，当0(,)x时()fx 010 xae00ln1lnaxx因此01min0 0()()lnlxffaea0 001ln1ln2l122l1axaxax,ff恒成立；当1a时，(1)ln1,aa()1,()1ffx不是恒成立综上所述实数的取值范围是，解法二：1 1x lnaxfellelnla 等价于1lnax lxelnan令xge上不等式价于l1lngaxgx，显然gx为单调增函数，
23、又等价于ln1lnaxx，即lnl1ax，令1hln则1hx在0,1上0 x递增；在(1)上0hxhx单调递减1maxhhln0aa即a的取值范围是1)【考点】导数几何意义查能力综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想2答案（1）由题可得：22341cabac解得：226,3abc，故椭圆方程为：22163xy2设点12,MxyNxy因为A，0A，即121210 xxyy，当直线N的斜率存在时设方程为ykm，如图代入椭圆方程消去y并整理得：2 246xx21212246,1kmmxxk根据1122,ykykxm代入整理可得：22 12k 40 xkx，将代入，2 2261 1401mkmk ，整理化简得23210k,1A不在直线MN上，km，2301kmk于是MN的方程为213yx所以直线过定点,E当N斜率不存在时，可得1,Nxy，如图2代入12120 xxyy110y，结合2163y解11,3xx舍此时直线MN过点2,3E，由于AE为定值，且ADE为直角三形，AE为斜边所以中点Q满足定值（长度的一半22114233）21,3,1AE故由中点坐标公式可得4,Q故存在4,Q，使得DQ为【考点】椭圆的标准方程和性质圆锥曲线的定点值问题查能力数形结合化归与转
