1、11.5 三角函数的应用一、夯实基础1 （ 2016泰 安 ） 如 图 ， 轮 船 沿 正 南 方 向 以 30 海 里 /时 的 速 度 匀 速 航 行 ，在 M 处 观 测 到 灯 塔 P 在 西 偏 南 68方 向 上 ， 航 行 2 小 时 后 到 达 N 处 ， 观 测 灯塔 P 在 西 偏 南 46方 向 上 ， 若 该 船 继 续 向 南 航 行 至 离 灯 塔 最 近 位 置 ， 则 此 时 轮 船离 灯 塔 的 距 离 约 为 （ 由 科 学 计 算 器 得 到 sin68=0.9272， sin46=0.7193， sin22=0.3746， sin44=0.6947） （
2、 ）A 22.48 B 41.68 C 43.16 D 55.632.如图,一枚运载火箭从地面 处发射,当火箭到达 点时,从地面 处的雷达站测得OAC的距离是 ,仰角是 , 后,火箭到达 点,此时测得 的距离是 6.13km,仰角为CkmsBB,这枚火箭从 点到 点的平均速度是多少?(精确到 )45.AB0.1kms23如图所示，一艘渔船正以 30 海里时的速度由西向东追赶鱼群，自 A 处经半小时到达 B 处，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 60的方向上，在 B 处看见小岛 C 在船的北偏东 30的方向上，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这
3、艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?4.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上C两探测点 A，B 相距 3 米,探测线与地面的夹角分别是 和 (如图),试确定生命所在306点 C 的深度. (结果精确到 米,参考数据: , )0.121.4.7二、能力提升5如图所示，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B处，经 16 小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里时的速度由 A 处向北偏西 60的 AC 方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1) B 处是否
4、会受到台风的影响?清说明理由；3(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到 0.1小时， 1.732)36如图 l64 所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从点 M 到点 N 的走向为北偏西 30，在点 M 的北偏西 60方向上有一点 A，以点 A 为圆心，以 500 米为半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为北偏西 75已知 MB=400 米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(参考数据： 1.732)3三、课外拓展7如图所示，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需要经 C 地沿折线 ACB 行驶，
5、现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶已知 AC10 km，A30，B45，则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米?(结果精确到 0.1 km,参考数据： 1.41， 1.73)2348.气象台发布的卫星云图显示,代号为 的台风在某海岛 (设为点 )的南偏东 方WO45向的 点生成, 测得 .台风中心从点 以 的速度向正北方向移动，B106OBkmB40kmh经 后到达海面上的点 处 .因受气旋影响,台风中心从点 开始以 的速度向北5hCC30kh偏西 方向继续移动 .以 为原点建立如图所示的直角坐标系60(1)台风中心生成点 的坐标为 ,台风中心转折点 的坐标为 ；(结B
6、果保留根号)(2)已知距台风中心 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点 )位于点20kmA的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长O时间？四、 中考链接1 （ 2016金 华 ） 一 座 楼 梯 的 示 意 图 如 图 所 示 ， BC 是 铅 垂 线 ， CA 是 水 平线 ， BA 与 CA 的 夹 角 为 现 要 在 楼 梯 上 铺 一 条 地 毯 ， 已 知 CA=4 米 ， 楼 梯 宽度 1 米 ， 则 地 毯 的 面 积 至 少 需 要 （ ）5A 米 2B 米 2C （ 4+ ） 米 2D （ 4+4tan ） 米 22.（2016云南省
7、昆明市）如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 A 的仰角为45（点 B，C，E 在同一水平直线上） ，已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到 0.1m） （参考数据： 1.414， 1.732）3.（2016 海南）如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD=4 米，坡角DCE=30，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为45，其中点 A、C、E 在同一直线上（1）求斜坡 CD 的高度 DE；（
8、2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号）答案1.解 ： 如 图 ， 过 点 P 作 PA MN 于 点 A，6MN=302=60（ 海 里 ） ， MNC=90， CPN=46， MNP= MNC+ CPN=136， BMP=68， PMN=90 BMP=22， MPN=180 PMN PNM=22， PMN= MPN， MN=PN=60（ 海 里 ） ， CNP=46， PNA=44， PA=PNsin PNA=600.6947 41.68（ 海 里 ）故 选 ： B2. 解:在 Rt 中,COsiOBC sin6.13in45.37在 Rt 中,AA sisi.092OCO 4.375.8
9、B答:这枚火箭从 点到 点的平均速度是 .AB.kms3提示：不会进入危险区4. 解:过 作 于点CD探测线与地面的夹角为 和 3067 ,30CAD60B在 Rt 中, tanCDA 3t0在 Rt 中, BCDanB 3t60又 A 解得3CD31.72.62CD生命所在点 的深度约为 米.65解：(1)如图 166 所示，过 B 作 BDAC 于 D，在 RtABD 中，BD= AB160 海12里200 海里，所以 B 处会受到台风的影响 (2)以 B 为圆心，200 海里为半径画圆交 AC于 E，F 两点，连接 BE，BF由(1)可知 BD160 海里，又 BE200 海里，则 DE
10、=120 海里，所以 AE(160 120)海里设卸货时间为 t，则 t 3.9(小时)，所以3160324在 3.9 小时内卸完货才不会受台风影响 6解：如图 167 所示，过 A 作 APMN 于点 P，由题意可知ABP=PAB=45，因为 MB400 米，所以 MPBP=MB400 米，所以 AP AP =400，即1tan301tan45APAP=400，AP=200( 1)546.4 米500 米，所以输水路线不会穿过居民区3387解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D在 RtCDA 中，A30，AC10km，CDAC 5 km， ADACcos 305 km在 RtBDC 中， B
11、=45，BDCD=5km，BC=123=5 km，ABADBD=(5 5)km，AC BCAB105 (5 5)sin4D2 2355 5 551.4l 51.733.4(km)即隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地3比原来少走约 3.4 km8. 解(1) :(10,3) (103,2103) (2)过点 作 于点 ,则 ,CDOACDAC在 Rt 中,cos 1032 ,20635台风从生成到最初侵袭该城要经过 小时1中考链接：1.解 ： 在 Rt ABC 中 ， BC=ACtan =4tan （ 米 ） ， AC+BC=4+4tan （ 米 ） ， 地 毯 的 面 积 至 少 需 要 1
12、（ 4+4tan ） =4+tan （ 米 2） ；9故 选 ： D2.【分析】如图，过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H通过解直角AFD 得到 DF 的长度；通过解直角DCE 得到 CE 的长度，则 BC=BECE解：如图，过点 D 作 DFAB 于点 F，过点 C 作 CHDF 于点 H则 DE=BF=CH=10m，在直角ADF 中，AF=80m10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE 中，DE=10m，DCE=30，CE= = =10 （ m） ，BC=BECE=7010 7017.3252.7（m） 答：障碍物 B，C 两点间的距离约为
13、 52.7m3.【分析】 （1）在直角三角形 DCE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长即可；（2）过 D 作 DF 垂直于 AB，交 AB 于点 F，可得出三角形 BDF 为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出 BC，BD，DC，由题意得到三角形 BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出 AB 的长【解答】解：（1）在 RtDCE 中，DC=4 米，DCE=30，DEC=90，DE= DC=2 米；（2）过 D 作 DFAB，交 AB 于点 F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD 为等腰直角三角形，设 BF=DF=x 米，四边形 DEAF 为矩形，10AF=DE=2 米，即 AB=（x+2）米，在 RtABC 中，ABC=30，BC= = = = 米，BD= BF= x 米，DC=4 米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在 RtBCD 中，根据勾股定理得：2x 2= +16，解得：x=4+ 或 x=4 ，则 AB=（6+ ）米或（6 ）米
