1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学目的：1、掌握正弦函数和余弦函数的性质；2、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3、了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。教学重点、难点重点：正、余弦函数的性质难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：一、复习引入：1y=sinx，xR 和 y=cosx，xR 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线-11yx-6-5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = sinx-11yx-6-5 65-4 -3 -2 - 0 432fx = cosx2.正弦函数 y=sinx，x0
2、，2的图象中，五个关键点是：（0，0） （ 2，1） （3，-1） （2 ，0）余弦函数 y=cosx x0，2 的五个点关键是（0，1） （ ，0） （ ，-1） （ ，0） （2 ，1）二、讲授新课：1定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R或(，) ，分别记作： ysinx，xR ycosx，xR2值域正弦函数、余弦函数的值域都是1，1 。其中正弦函数 y=sinx,xR当且仅当 x 22k，kZ 时，取得最大值 1。当且仅当 x 22k，kZ 时，取得最小值1。而余弦函数 ycosx，xR当且仅当 x2k，kZ 时，取得最大值 1。当且仅当 x(2k1)，kZ 时，取得最小值1
3、。3周期性一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期。1周期函数 x 定义域 M，则必有 x+TM, 且若 T0 则定义域无上界；T0 则定义域无下界；2“每一个值 ”只要有一个反例，则 f (x)就不为周期函数（如 f (x0+t)f (x0)）3T 往往是多值的（如 y=sinx 2,4,-2,-4,都是周期）周期 T 中最小的正数叫做 f
4、 (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是2。4奇偶性ysinx 为奇函数，ycosx 为偶函数正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称5单调性正弦函数在每一个闭区间 22k， 2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间 2k，32k (kZ)上都是减函数，其值从 1减小到1。余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到 1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从 1 减小到1。三、典型例题例 1、 求下列函数的周期：(1)
5、y3cosx，xR；(2)ysin2x，xR；(3)y2sin( 21x 6)，xR。解：(1)ycosx 的周期是 2只有 x 增到 x2 时，函数值才重复出现y3cosx，xR 的周期是 2(2)令 Z2x，那么 xR 必须并且只需 ZR，且函数 ysinZ，ZR 的周期是 2即 Z22x22(x)。只有当 x 至少增加到 x，函数值才能重复出现ysin2x 的周期是 (3)令 Z 21x 6，那么 xR 必须并且只需 ZR，且函数 y2sinZ，ZR 的周期是2，由于 Z2( x )2 21(x4) 6，所以只有自变量 x 至少要增加到x4，函数值才能重复取得，即 T4 是能使等式 2s
6、in 21(xT) 62sin( 21x 6)成立的最小正数从而 y2sin( x )，xR 的周期是 4小结：从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量 x 的系数有关一般地，函数 yAsin(x )，xR 及函数 yAcos(x )，xR(其中A、 为常数，且 A0， 0)的周期 T 2根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T2，(2)T 2 ，(3)T2 214例 2、不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0(1)sin( 18)sin( )；(2)cos( 53)cos( 417)解：(1) 2 0 8 2且函数 ysinx，x， 是增函数
7、sin( 10) sin( 8)即 sin( 18)sin( 0)0(2)cos( 523)coscos 53cos( 47)cos cos 40 53且函数 ycosx，x0，是减函数coscos 4即 cos 53cos 0cos(2)cos( 417)0例 3(1)函数 ysin(x )在什么区间上是增函数?(2)函数 y3sin( 32x)在什么区间是减函数?解：(1)函数 ysinx 在下列区间上是增函数：2k 2x2k 2(kZ)函数 ysin(x 4)为增函数，当且仅当 2k 2x 42k 2即 2k3 x2k (kZ)为所求(2)y3sin( 32x)3sin(2x 3)由 2k 22x 2k 2得 k 1xk 15(kZ)为所求或：令 u 32x，则 u 是 x 的减函数又ysin在2k 2，2k (kZ)上为增函数，原函数 y3sin( 32x)在区间2k 2，2k 上递减设 2k 2 2x2k解得 k 1xk 125(kZ)原函数 y3sin( 32x)在k ，k 125(kZ) 上单调递减四、课堂练习：课本第 38 页练习第 1、2 题五、课堂小结本节课我们学习了用单位圆中的正弦线作正弦函数，通过诱导公式得到余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图六、作业课本第 52 页习题第 1 题
