1、传递函数阵 1 1 传递函数阵对于SISO线性定常系统 标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系 对于MIMO线性定常系统 将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数 即传递函数阵 可用来表达系统输入与输出间的信息动态传递关系 下面将从状态空间模型出发 分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义由状态空间表达式建立系统的传递函数阵 以及组合系统的状态空间模型和传递函数阵 传递函数阵的定义 1 2 2 5 1传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前 需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数 为此 定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵
2、函数的各个元素求相应的拉氏变换 那么我们可对矩阵函数和向量函数进行拉氏变换及其拉氏反变换 传递函数阵 2 2 对r维输入 m维输出的MIMO系统 若其输入输出的拉氏变换分别为U s 和Y s 则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y s G s U s 其中G s 称为传递函数阵 其每个元素为标量传递函数 G s 的形式为 其中Gij s 描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系 由状态空间表达式求传递函数阵 1 1 2 5 2由状态空间表达式求传递函数阵前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式 下面将介绍其逆问题 即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵 主要内容有 传
3、递函数矩阵的推导函数矩阵 sI A 的逆矩阵的快速计算 传递函数矩阵的推导 1 7 1 传递函数矩阵的推导前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式 下面将介绍其逆问题 即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵 已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为 其中x为n维状态向量 u为r维输入向量 y为m维输出向量 传递函数矩阵的推导 2 7 对上式取拉氏变换 有 其中X s U s 和Y s 分别为x t u t 和y t 的拉氏变换 x 0 为x t 的在初始时刻t 0的值 由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系 不考虑系统初始条件的影响 因此令x 0 0 于是由状态
4、方程的拉氏变换式有X s sI A 1BU s 传递函数矩阵的推导 3 7 例2 12 将上述X s 代入式 2 60 中的输出方程 有Y s C sI A 1B D U s 因此 可得线性定常连续系统的传递函数阵为G s C sI A 1B D若对于输入与输出间无直接关联项 即D 0 的系统 则有G s C sI A 1B例2 12求如下系统的传递函数 传递函数矩阵的推导 4 7 例2 12 解 1 先计算逆矩阵C sI A 1B 代数余子式 代数余子式 传递函数矩阵的推导 5 7 例2 12 2 由传递函数计算公式可得 由于状态变换仅对状态变量进行 保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态
5、关系不变 因此 有如下结论 描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性 传递函数矩阵的推导 6 7 上述结论按下面的步骤是很容易证明的 证明设系统的状态空间表达式为 A B C D 相应的传递函数阵为G s C sI A 1B D若对此系统作线性状态变换 则相应的状态空间表达式为 相应的传递函数阵 其中 传递函数矩阵的推导 7 7 因此有 CP sI P 1AP 1P 1B D CP P 1 sI A 1P P 1B D C sI A 1B D G s 即证明了传递函数阵对状态变换具有不变性 函数矩阵 sI A 的逆矩阵的快速计算 1 4 2 函数矩阵 sI A 的逆矩阵
6、的快速计算在传递函数矩阵的许多分析与计算问题中 涉及函数矩阵函数矩阵 sI A 的逆矩阵 sI A 1的计算问题 当系统的阶数较高 方阵A的维数较大 时 应用此方法将会遇到多项式矩阵函数的逆阵的计算量大 计算困难问题 下面介绍一种计算的实用递推算法 其证明可从相关的 矩阵分析 的书籍中找到 函数矩阵 sI A 的逆矩阵的快速计算 2 4 设A为n n维的矩阵 则sI A的逆阵为 sI A 1 adj sI A sI A 其中adj 为伴随矩阵 sI A 为如下特征多项式 sI A sn a1sn 1 an 1s an由伴随矩阵的定义可知 adj sI A 可表示为如下多项式矩阵函数adj sI
7、 A sn 1I sn 2B2 sBn 1 Bn其中矩阵Bi i 2 3 n 为n n维的矩阵 函数矩阵 sI A 的逆矩阵的快速计算 3 4 可以证明 特征多项式的系数ai和伴随矩阵的系数矩阵Bj满足如下递推计算关系式 其中tr M 表示矩阵M的迹 即M中的主对角线上各元素之代数和 函数矩阵 sI A 的逆矩阵的快速计算 4 4 递推计算sI A的伴随矩阵和A的特征多项式后 由 2 63 可计算得 sI A 1 求得 sI A 1 再经拉氏反变换 即可求得矩阵指数函数eAt 上述计算方法采用逐次迭代求得多项式系数ai和伴随矩阵系数矩阵Bj 避免了直接求矩阵函数逆矩阵 sI A 1的困难 由状
8、态空间表达式求传递函数阵 1 1 2 5 3组合系统的状态空间模型和传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备 其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构 这些组合结构可以由并联 串联和反馈3种基本组合联结形式表示 下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵 并联联结 1 4 1 并联联结 图2 15并联联接组合系统方块结构图 并联联结 2 4 设对应于图2 15示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵为 其对应的状态空间表达式分别为 并联联结 3 4 从图2 15可知u1 u2 uy1 y2 y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为 并联联结 4 4 因此
9、由上述状态空间表达式可知 并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和 由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此 并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和 串联联结 1 5 2 串联联结 图2 16串联联接组合系统方块结构图 设图2 16所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同 其对应的状态空间表达式也分别相同 串联联结 2 5 从图2 16可知u1 uu2 y1y2 y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为 串联联结 3 5 相应的输出方程为 即有 串联联结 4 5 因此 由上述状态空间模型可知 串联连接组合系统的状
10、态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和 由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为 串联联结 5 5 因此 串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积 应当注意 由于矩阵不满足乘法交换律 故在上式中G1 s 和G2 s 的位置不能颠倒 它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致 反馈联结 1 5 3 反馈联结 图2 17反馈联接组合系统方块结构图 反馈联结 2 5 设对应于图2 17所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为 其对应的状态空间模型分别为 反馈联结 3 5 从图2 17可知u1 u y2u2 y1 y因此可导出反馈组合系统的状态空间
11、模型为 反馈联结 4 5 即有 故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和 反馈联结 5 5 Y s G0 s U1 s G0 s U s Y2 s G0 s U s F s Y s 故 I G0 s F s Y s G0 s U s 或Y s I G0 s F s 1G0 s U s 因此 反馈联结组合系统的传递函数为G s I G0 s F s 1G0 s 由反馈联结组合系统的联结图2 17可知 反馈联结 6 5 U s Y2 s U1 s F s G0 s U1 s U1 s I F s G0 s U1 s I F s G0 s Y s 故Y s G0 s I F s G0 s 1U s 因此 反馈联结组合系统的传递函数又可写为G s G0 s I F s G0 s 1 按图2 17 还可作如下推导
