1、 4 1微分中值定理 1 局部极值点的必要条件 问题 局部极值点 有 则称f x 在x0处有极小值 或极大值 说明 1 几何解释 是极大值点 是极小值点 定理 费马定理 证明 不妨设x0是极小值点 使 则根据定义 存在N x0 说明 2 我们把使的点x0称为驻点 稳定点 3 驻点未必是极值点 反例 处 不可微点也可能是极值点 反例 处 4 临界点 驻点和不可微点统称为临界点 定理 局部极值点的必要条件 注意 临界点不一定是极值点 20中值定理 定理 罗尔定理 证明 因为f x C a b 1 若m M 则f x C 可任取 有 不妨设 据最值定理知 存在 说明 1 几何意义 2 罗尔定理中的三
2、个条件 一般不可松动 反例 3 定理指出了导函数的零点问题 罗尔定理的几何意义也 一条切线平行于AB弦 可以解释为 至少存在 问题 定理 拉格朗日中值定理 AB弦的斜率 即 证明 构造辅助函数 则F x 在 a b 上连续 a b 内可导 而且 根据罗尔定理 存在 即 说明 1 2 即有 拉格朗日中值公式的应用 解 在 a b 上利用拉格朗日中值定理 有 C A g a f a B g b f b 如果设A B点的坐标为 即应有 定理 cauchy中值定理 证明 因为 构造辅助函数 则F x 在 a b 上连续 a b 内可导 而且有 注意 在定理的条件下 例 解 上式等价于 设 则由a 0知 f x g x 满足柯 西中值定理的条件 即 存在 a b 使
