1、第四章 中值定理与导数的应用,4.1 微分中值定理,一、费马定理,1、函数极值,极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点,【4-1-1】,2、费马定理（可导极值点必要条件）,（1）定理,（2）证明,【4-1-2】,因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有,【4-1-3】,（3）定理中应注意的问题, 定理仅是必要而不充分的条件，如,【4-1-4】,二、罗尔(Rolle)中值定理,1、定理,2、证明,【4-1-5】,3、定理中应注意的问题,定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定理的条件，也有定理的结论。如,【4-1-6】,几何意义,定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立
2、,X,O,Y,X,O,Y,X,O,Y,【4-1-7】,4、应用举例,例1,证明：,【4-1-8】,例2,证明： 用反证法证明,【4-1-9】,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,1、定理,2、证明：作辅助函数,【4-1-10】,3、定理中应注意的问题,（1）定理中的两个条件缺一不可,（2）,【4-1-11】,（3）几何意义,X,B,A,Y,O,【4-1-12】,（4）变形形式,【4-1-13】,4、应用举例,例3,证明：,【4-1-14】,例4,证明：,注：依本题结论有,【4-1-15】,例5,证明：,类似地有,【4-1-16】,例6 证明不等式,证明：,【4-1-17】,例7,证明：,【4-1-18】,四 柯西(cauchy)中值定理,1 定理：,2 证明：,【4-1-19】,3 说明：,（3）变形形式：,【4-1-20】,（4） 几何意义：与Lagrange中值定理的几何意义相似,设曲线C的方程为：,【4-1-21】,Y,O,X,【4-1-22】,4 应用举例,例8,证明：,所以,【4-1-23】,例9,证明：,【4-1-24】,因此有,下一节,【4-1-25】,
