4.1中值定理,一、费马（Fermat）引理,证：,于是,必有,二、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,连续平滑且两端点等高的曲线弧上,证：,最值不可能同时在端点取得，,由费马引理可知，,至少有一点处的切线是水平的。,注意:定理三个条件中有一个不满足,其结论就可能不成立。,如,但在0点不可导,但在 e 点不连续，,例1、,证：1),据连续函数介值定理,即为方程小于1的正实根；,矛盾,证：,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,拉格朗日中值公式,证：,希望找到一个,满足罗尔定理条件，同时使,就是,令,时，,，则F(x)满足罗尔定理条件(1)(2),例3、,证：,定理的应用：,推论：,证：,例4、,证：,四、柯西(Cauchy)中值定理,证：,仿拉氏定理的证明，作辅助函数,令,五、小结,柯西 中值定理,1、罗尔、拉格朗日及柯西中值定理之间的关系：,2、定理成立的条件与结论；,3、利用中值定理证明等式与不等式的步骤。,罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,练 习 题 四（1）,答案,练习题四（1）答案,四、分析：,证：,
