,一、罗尔(Rolle)定理,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例2,例3,例4,例5,证,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,作辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,问题：,证,定理,例6,证,例7,证,三、柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,例8,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,
