1、递归数列的极限1 递归数列的极限 2 白鹭溪 递归数列的极限2 考虑以下递归定义的数列 其中m是任何正实数 可以证明 以上数列 1 当m 2时是常数列 2 当m 2时单调减少的 3 当m 2时单调增加的 数列总是收敛的 且 递归数列的极限3 先来用Excel做一个实验看看数列的趋势 Excel实验 递归数列的极限4 m 1 8 递归数列的极限5 m 1 8 数列单调增加 且有上界 递归数列的极限6 m 12 递归数列的极限7 m 12 数列单调减少 且有下界 递归数列的极限8 m 2 递归数列的极限9 m 2 数列为常数列 递归数列的极限10 其中m是任何正实数 下面证明 当m 2时是常数列
2、当m 2时单调减少 且有下界 以上数列当m 2时单调增加 且有上界 递归数列的极限11 1 当m 2时 数列为常数列 递归数列的极限12 2 数列当m 2时数列单调减少 且有下界 首先 然后假设 则 所以 由数学归纳法 对所有的n 都有 于是数列是单调减少的 因为 显然 这个正数列以0为下界 递归数列的极限13 3 数列当m 2时单调增加 且有上界m 2 首先 然后假设 则 所以 由数学归纳法 对所有的n 都有 于是数列是单调增加的 因为 递归数列的极限14 这就证明了 是数列的上界 下面用数学归纳法证明数列有上界 首先 然后假设 则 因为 所以 由数学归纳法 对所有的n 都有 递归数列的极限15 根据单调有界数列必有极限的准则 对所有大于0的数m 以上数列都收敛 记 由 得 两端取极限 得或 由二次方程的求根公式 解得 即 舍去负根
