1、圆与方程基础知识过关1. 直线 1yx与圆 21y的位置关系为（ B ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离2. 方程 x2y 24mx2y 5 m0 表示圆的充要条件是 ( B )A. m1 B m 或 m1C m D m114 14 143. 过点 A(1，1)， B(1,1)，且圆心在直线 x y20 上的圆的方程是( C )A( x3) 2( y1) 24 B( x3) 2( y1) 24C(x1) 2( y1) 24 D( x1) 2(y1) 244. 已知两定点 A(2,0) ，B (1,0)，如果动点 P 满足| PA|2|PB| ，则点 P 的轨迹所包围的图形的面
2、积等于( B )A B 4 C8 D95. 若曲线 x2y 2a 2x(1a 2)y40 关于直线 yx0 对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( B )A± B± C. 或 D 或12 22 12 22 12 226. 点 P(4， 2)与圆 x2y 24 上任一点连线的中点轨迹方程是( A )A(x 2)2(y1) 21 B( x2) 2(y1) 24C(x4) 2( y2) 21 D( x2) 2(y1) 217. 若直线 b与曲线 cos,iny（ 0,)）有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( D )A 2,1 B 2,C ()(2,) D ()8. 过圆 2x
3、y： 的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B ， O被圆分成四部分（如图） ， 若这四部分图形面积满足 |,SS¥则直线 AB 有（ B ）A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条9. 直线 xy40 被圆 x2 y24x4y60 截得的弦长等于 ( B )A B C D12310. 直线 x ym0 与圆 x2y 22x20 相切，则实数 m 等于 ( C )3A. 或 B 或 3 C3 或 D3 或 33 3 3 3 3 3 3 311. 圆 x2y 24x 0 在点 P(1， )处的切线方程为 ( D )3Ax y20 Bx y40 Cx y40 Dx y203
4、 3 3 312.若直线 1 与圆 x2y 21 有公共点，则 ( D )xa ybAa 2b 21 Ba 2b 21 C. 1 D. 11a2 1b2 1a2 1b213. 过 M(3,1)点的圆 (x1) 2( y2) 24 的切线方程为_ x3 或 3x4y50_.14. 若实数 满足条件(x2) 2y 21，则 的最大值与最小值分别为_ _，_,y21yx3 34_3 3415. 直线 250xy与圆 28xy相交于 A、B 两点，则 .2316. 过点(2,1)的直线中，被圆 x2y 22x4y 0 截得的最长弦所在的直线方程是_3xy 50_17. 设直线 axy 30 与圆(x1
5、) 2(y2) 24 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 ，3则 a_0_.18. 已知直线 l：x y40 与圆 C：(x1) 2( y1) 22，则 C 上各点到 l 距离的最小值为_ _219. 直线 3k与圆 224相交于 M,N 两点，若 23，则 k 的取值范围是_04，_.综合能力提升20. 根据下列条件求圆的方程：(1)经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x3y10 上；(2)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)；(3)过三点 A(1,12)，B(7,10) ，C (9,2)【分析】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的
6、方程(1)通过研究圆的性质而求出圆的基本量；(2)设出圆的方程，用待定系数法求解【解析】 (1)设圆的标准方程为( xa) 2(yb) 2r 2，由题意列出方程组Error!，解之得Error!圆的标准方程是(x4) 2(y3) 225.(2)解法 1：设圆的标准方程为( xa) 2(yb) 2r 2，则有Error! 解得 a1，b4，r2 .2圆的方程为(x1) 2(y 4) 28.解法 2：过切点且与 xy 10 垂直的直线为 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1，4)半径 r2 ，2所求圆的方程为(x1) 2(y4) 28.(3)解法 1：设圆的一般方程为 x2y 2DxEyF0
7、，则Error! 解得：D2，E 4，F95.所求圆的方程为 x2y 22x 4y950.解法 2：由 A(1,12)，B(7,10) ，得 AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ，13则 AB 的中垂线方程为：3x y 10.同理得 AC 的中垂线方程为： xy30.联立Error! 得Error!，即圆心坐标为(1,2)，半径 r 10.(1 1)2 (2 12)2所求圆的方程为( x1) 2( y2) 2100.21. 设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2 y24 上运动，以 OM、 ON 为两边作平行四边形MONP，求点 P 的轨迹【解析】如图所示，设 P(x，y)，N(x
8、0，y 0)，则线段 OP 的中点坐标为 ，线段 MN 的中(x2，y2)点坐标为 .(x0 32 ，y0 42 )因为平行四边形的对角线互相平分，故 ， ，从而Error! .x2 x0 32 y2 y0 42又 N(x3，y4)在圆上，故(x3) 2( y4) 24.因此所求 P 点的轨迹为圆：( x3) 2( y4) 24，但应除去两点： 和 (点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)(95， 125) ( 215， 285)22. 已知圆 x2 y24 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90&#
9、176; ，求 PQ 中点的轨迹方程【解析】 (1)设 AP 中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y) P 点在圆 x2 y24 上， (2x2) 2(2 y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 RtPBQ 中，| PN| BN|，设 O 为坐标原点，连结ON，则 ONPQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故 PQ 中点 N 的轨迹方程为 x2 y2 x y10.23. 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函
10、数 f(x) x22 x b(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C.(1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程；(3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论【解析 (1)显然 b0，否则，二次函数 f(x) x22 x b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符由 b0 知，二次函数 f(x) x22 x b 的图象与 y 轴有一个非原点的交点(0， b)，故它与 x 轴必有两个交点，从而方程 x22 x b0 有两个不相等的实数根，因此方程的判别式 44 b0，即 b1.所以， b 的取值范围是(，0)(0,
11、1)(2)由方程 x22xb0，得 x1± .1 b于是二次函数 f(x)x 22x b 的图象与坐标轴的交点是(1 ，0) ，1 b(1 ，0)，(0 ，b)1 b设圆 C 的方程为 x2y 2Dx EyF0.因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得Error!解上述方程组，因 b0，得Error!所以，圆 C 的方程为 x2y 22x(b1) yb0.(3)圆 C 过定点，证明如下：假设圆 C 过定点(x 0，y 0)(x0， y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为 x y 2x 0y 0b(1y 0)0.(*)20 20为使(*)式对
12、所有满足 b1(b0)的 b 都成立，必须有 1y 00，结合(*)式得x y 2x 0 y00.20 20解得Error! 或Error!经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆 C 上24. 已知 AOB 中，| OB|3，| OA|4，| AB|5，点 P 是AOB 内切圆上一点，求以| PA|、| PB|、| PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值【解析】如图建立直角坐标系，使 A、 B、 O 三点的坐标分别为 A(4,0)、 B(0,3)，O(0,0)设内切圆半径为 r，则有 2r| AB| OA| OB|.得 r1.故内切圆的方程为( x1) 2( y1) 21，化简为x2 y22 x2 y10.又因为| PA|2| PB|2| PO|2( x4) 2 y2 x2( y3)2 x2 y23x 23y 28x 6y253(x 2y 22y)8x252x22，因为 x0,2，故|PA| 2| PB|2|PO| 2 的最大值为 22，最小值为 18.三个圆的面积之和为 (|PA|2|PB |2|PO| 2)，4因此所求面积之和的最大值为 ，最小值为 .112 92
