1、圆与方程章节中数形结合思想的应用 洪贵云摘要：数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。本文从圆的方程教学出发，提炼了一些数形结合在圆的方程解题中的应用技巧，如常见的求轨迹、求距离、求最值等问题。如能熟练掌握这些方法并教给学生学会使用，必将取得事半功倍的效果。 （一）求范围例 1:设圆上 有且仅有两点到直线 的距离等于 1,则圆的半径 的取值范围是( )22)5()3(ryx 234yx rA 4 6 B C D r64646r分析: 方法一 圆心 到直线 的距离为
2、,),(23yx 5)3(4122而到直线 的距离为 1 的轨迹为 或234yx 74yx如图,当圆与直线 相交,与直线 相离时,圆上只有两点与直线 距离为 1，所以73yx 234yx4 6r方法二 根据四个选项知,只需判断当 =4 或 6 时圆 与直线 的距离为 1r 22)5()3(ryx的点的个数,作出草图 1.图 1xy(3,-5)234y70当 =4 时,圆与直线 相切,只有一个点符合要求. r74yx当 =6 时,圆与直线 相切,与直线 相交,圆上有三个点符合要求,故 4 63734yx r故选 A归纳:（1）以形助数,借助图形的性质,使有关”数” 的问题直观形象化,从而探索”
3、数”的规律.比如: 研究两曲线的位置关系,借助图形使方程.间关系具体化;过定点的直线系与某一确定的直线或圆相交时 ,求直线系斜率的范围; 图形可帮助找到斜率的边界取值,从而简化运算;对于一些求最值得问题 ,可构造出适合题意的图形,解题中把代数问题几何化；（2）以数助形,借助数式的推理,使有关” 形” 的问题数量化,从而准确揭示”形”的性质.（二）不等式问题例 2:当 为圆 上任意一点时,若不等式 恒成立,则 的取值范围是( ),(nmP1)(22yx 0cnmcA B 11c 12cC D 2分析:因为 在已知圆 上,且使 恒成立,即说明圆在不等式 表示的区),(nmP1)(22yx 0cnm
4、0cnm域中, 如图 2 中， 为直线 在 轴上的截距, 可求出切线 的截距为 ,所以 ,即c0c l)12()12(1c图 2【变式训练】 不等式 的解集为 。)0(22axa 0ax分析：令 ，它表示以原点为圆心， 为半径的上半圆，包括端点；令 ，它表示斜2xy )0(2axy率为 2，且 轴上的截距为 在的直线。由图 3 可知：不等式 的解集为 。)0(22x ax（三）临界值的问题例 3:若直线 与连接点 的线段有交点 ,则 的取值范围是_02yax )2,(,BAa图 4分析:容易发现,直线 过定点 ,因此要使直线与线段 始终有交点,如图 4,当直线绕 点在直线02yax)2(PAB
5、P之间旋转时,直线与连接点 的线段有交点,而 的斜率为 ,当直线由 开始PBA3,BA02yaxakB绕点 逆时针旋转时(不与 轴重合),到 止,当直线与线段 始终有交点,此时,斜率的变化为: 当直线的倾斜角为锐角时: 而 ,即 ,所以 34,当直线 的倾斜角为钝角时:02yax PBk4302yx25,5,PAaak所 以即而故答案为: )234(变式训练 已知圆 和圆 ,直线 在两圆之间穿过,求实数 的取值范4:21yxc 4)8(:22yxc bxy25b围.分析：直线在情况下，根据 与圆 相切，点到直线的距离等于半径，即bxy25:21yxc得 ，结合图形 5， 即是直线与 轴交点的纵
6、坐标，本题中我们只需要 ；)1(2502rbd3y 3b直线在情况下，根据 与圆 相切，点到直线的距离等于半径，即bxy54)8(:22yxcxy01x0)2,(PA2axAOAyA),(),(B)1,(P图 3得 或 ，结合图形，我们只需要 ，3 和 5 是两个临界点，结合图形，可2)1(25802rbd5b1b知 的取值范围是 。b,3图 5变式训练 若实数 满足 ，则 的取值范围为 。yx, 3)2(yxy3,提示：问题可转化为如下几何问题：动点 在以 为圆心，以 为半径的圆上移动，求直线 的斜率的P)0,2( OP取值范围。由图 6 可知，直线 的斜率的取值范围为O,3（四）方程的根的
7、问题例 5. 若方程 有两个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.2xk解析：方程 有两个不同的实数根，就是曲线 与直线 有两个不2yx2ykx同的交点. 由 得 ，所以曲线 是以 为圆心，以 1 位半径的圆位于2yx2(1)(0)y2(1,0)x 轴上方的半圆；由 得 ，所以它是过定点 斜率为 k 的直线（如图）.k2kx(,连接 PO， ，过点 P 作圆的切线 PQ，由 ，得 ，由图易知，过 P 点的直线位于1POk2|1k34PQkPQ（不包括 PQ）和 PO（包含 PO）之间时，与半圆有两个交点，故得 .1评析：本题若直接从方程的角度进行求解将非常复杂，但从方程的形式及结构特点，发现与
8、直线和圆有关系，因此将方程问题转化为直线与圆的位置关系问题，显得既直观又简单.数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，才能不断提高、深化数形结合运用的能力xyo424)8(22x P)0,2(BAOxy3图 6
