1、1 积分变换第3讲 2 傅氏变换的性质 3 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质 为了叙述方便起见 假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件 在证明这些性质时 不再重述这些条件 4 1 线性性质设F1 w F f1 t F2 w F f2 t a b是常数 则F af1 t bf2 t aF1 w bF2 w 1 13 这个性质的作用是很显然的 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合 它的证明只需根据定义就可推出 同样 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质 即F 1 aF1 w bF2 w af1 t bf2 t 1 14 5 2 位移性质 证由傅氏变换的
2、定义 可知 6 3 微分性质如果f t 在 上连续或只有有限个可去间断点 且当 t 时 f t 0 则F f t jwF f t 1 17 证由傅氏变换的定义 并利用分部积分可得 推论F f n t jw nF f t 1 18 7 同样 我们还能得到象函数的导数公式 设F f t F w 则 8 本书中的积分的记号有不严格的写法 即 9 4 积分性质 10 例2求微分积分方程 的解 其中 t a b c均为常数 根据傅氏变换的微分性质和积分性质 且记F x t X w F h t H w 在方程两边取傅氏变换 可得 11 运用傅氏变换的线性性质 微分性质以及积分性质 可以把线性常系数微分方程
3、转化为代数方程 通过解代数方程与求傅氏逆变换 就可以得到此微分方程的解 另外 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一 12 13 性质小结 若F f t F w F g t G w 14 乘积定理若F w F f t G w F g t 则 15 能量积分若F w F f t 则有 这一等式又称为帕塞瓦尔 Parserval 等式证在 1 20 式中 令f t g t 则 16 17 实际上 只要记住下面四个傅里叶变换 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出 18 注意第一类间断点处的求导数 首先有 d t u t t t O O 19 a 假设函数f t 在t0处
4、有一个上升了a的第一类间断点 则f t 可以分为在此处连续的一个函数f1 t 加上au t t0 a t t0 t0 t0 t t f t f1 t au t t0 20 例求方波的傅氏变换 t 2 t 2 E t f t t 2 t 2 E t f t E 21 推导过程为 22 练习求如图所示的频谱函数 t 2 t 2 A O t f t t 2 t 2 a O t f t t 2 t 2 a O t f t a 2a a 23 因此有 利用傅氏变换的微分性质 当A 1 2时 24 练习 t O f t 1 1 t O f t 1 1 2 2 25 f t 的二阶导和三阶导如下图 t O
5、f t 1 1 2 2 t O f t 1 1 2 2 26 因此有 27 练习 f t sgnt 1 1 t f t 2 t f t O O 28 练习 求傅氏变换f t e b t b 0 令g t u t e bt 则f t g t g t t g t t g t t f t O O O 29 因此有 30 END 31 练习 32 33 34 练习 1 1 1 1 f t t O 1 2 1 f t t O 1 1 35 因此 36 练习 周期为T的函数f t 可表示为 37 练习 f t e t cost 38 39 练习 40 41 练习 42 练习 F w p d w w0 d w w0 43 练习 44 练习 f t costsint 45 练习 f t sin3t 46 作业习题
