1、 1 5信号的分解 直交流分解奇偶分解正交分解 1 直流分量和交流分量 直流分量交流分量 即信号平均值 信号的平均功率等于直流功率和交流功率之和 2 偶分量与奇分量 任何信号都可以分解为偶分量和奇分量之和 偶分量 偶信号 奇分量 奇信号 直流分量一定属于偶分量信号的奇偶分解在分析和理解信号的傅里叶变换或傅里叶级数时很有帮助 3 正交分解 信号正交分解的核心是把信号分解为完备 正交 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和 它非常有益于信号分析和理解 原则上有无穷多个这样的正交分解 最常用的是傅里叶级数分解 傅里叶变换和拉普拉斯变换 傅里叶级数是把周期信号分解成无穷多个谐波正弦信号的加权和 傅
2、里叶变换就是把非周期信号分解成无穷多个频率间隔无穷小的复正弦信号的加权和 而拉普拉斯变换就是把信号分解成无穷多个复指数信号的加权和 其它的典型例有小波分解 主分量分析等 1 6系统的基本概念 系统定义 信号运算 包括信号的变换 处理 分析和理解等 都在系统中进行 称系统的输入信号为激励 Excitation 称系统的输出信号为响应 Response 系统分类 按输入输出特性分连续 离散 数字 混合系统 按系统特性分 有线性或非线性系统 时不变或时变系统 因果或非因果系统 稳定或不稳定系统 可逆系统和不可逆系统 计算机控制系统 包括连续 混合 数字 混合和连续系统 1 线性系统 LinearSy
3、stem 一个同时满足可加性 additivity 和齐次性 homogeneityorscaling 的系统被定义为线性系统 否则称为非线性系统 可加性 两输入信号之和的系统响应等于两输入信号分别引起的系统响应之和 这表示系统处理与加法的次序可交换 即无论是先加后处理 还是先处理后加 都得相同的结果 如后一页图 a 所示 齐次性 输入信号乘以常数后引起的系统响应等于输入信号引起的系统响应再乘以该常数 这表示系统处理与常量乘的次序可交换 即无论是先放大后处理 还是先处理后放大 都得相同的结果 如后一页图 b 所示 线性系统叠加性 a 和齐次性 b 线性系统的判断 系统线性的判断可以使用可加性判
4、断接着齐次性判断的两步法 也可以使用线性性判断的一步法 注意 只要违反了可加性或齐次性 就是非线性的 使用上述判断准则 容易得出如下结论 平移 翻转和尺度运算都是线性的 乘常数或与输入无关的变量 即恒增益或变增益放大 是线性的 加常数或与输入无关的变量 即固定电平或可变电平偏置 是非线性的 线性系统的判断 微分和积分运算是线性的 非正比例的即时映射都是非线性的 有零初始状态的线性电路或线性微分方程都是线性的 任何含非线性运算的系统 如非线性的微分方程或电路 都是非线性的 注意 线性性的要求是很严格的 甚至有非零初始状态的线性电路 或者有非零初始状态的线性常微分方程都不是上述意义下的线性系统 2
5、 时不变系统 TimeInvariantSystem 时不变性 如果输入f t 引起的系统响应为y t 则输入f t t0 引起的系统响应为y t t0 其中 t0为延迟时间 这表示系统处理与延迟运算的次序可交换 即无论是先延迟后处理 还是先处理后延迟 都得到相同的结果 也就是输入延迟多少时间 输出也延迟多少时间 如下图所示 时不变系统的判断 平移是时不变的 但翻转和尺度运算都是时变的 因为对于翻转而言 输入延迟时 输出延迟 对于尺度而言 输入延迟时 输出延迟 乘或加常数 即直流偏置或固定增益放大 是时不变的 而乘或加与输入无关的变量 即交流偏置或时变增益放大 是时变的 因为对后者而言 所乘或
6、加的与输入无关的变量并不随输入的延迟而延迟 微分和下限为的积分运算是时不变的 但如例1 5f所证 下限为零的积分却是时变的 所有即时映射都是时不变的 有零初始状态的常参数电路或常系数微分方程才是时不变的 而具有非零初始状态的电路或微分方程是时变的 因为初始状态定义于零时刻 它不会随着输入的延迟而延迟到另一时刻 同样地 变系数微分方程中的变系数的时间变量并没有因输入的延迟而延迟 3 因果系统 CausalSystem 因果系统 如果t t0时输入f t 0 则一定有t t0时系统响应y t 0 这表示无输入之前系统不会有响应 同样地输出一定要在输入变化之后发生变化 一个因果系统一定是物理可实现系
7、统 反之亦然 因果信号指t 0时接入系统的信号 t 0时信号为零 也称有始信号 即时系统一定是因果系统 根据此定义 可知一个因果系统对因果激励信号的响应一定是因果的 因果系统的判断 向右平移 即延迟 是因果的 而向左平移 即超前 翻转 即时间倒转 和尺度运算都是非因果的 因为超前和时间倒转都会使将来发生的事情先于现在出现 乘法和加法运算是因果的 微分是非因果的 因为它与将来时刻的信号值有关 下限为的积分运算是因果的 因为它与将来时刻的信号值无关 但正如例1 5f所证 下限为零的积分却是非因果的 所有即时映射都是因果的 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果的 因为它们都是物理可实现的 4 稳
8、定系统 StableSystem 一个能实际应用的系统必须是稳定的 因此稳定性的讨论具有特别重要的地位 一般系统的稳定性讨论需建立在有界输入 有界输出 BIBO 意义上 即 如果系统能对任何有界输入信号产生有界的输出响应信号 则该系统是稳定的 平移 翻转和尺度运算都是稳定的 乘 加取值有限的常量或变量的运算是稳定的 微分运算是稳定的 而积分运算却是不稳定的 因为有界函数的积分可能无界 即时映射在映射函数有界时才是稳定的 系统稳定性 一般的稳定性判断相当复杂 它与所讨论问题有关 往往需使用特定领域中的特定判断方法 本书仅限于讨论其中最简单系统的 尤其是LTIV系统的稳定性 我们将在第二章和第四章
9、分别证明 LTIV系统稳定的充要条件是 系统冲激响应绝对可积 或等价地 系统传递函数的极点都在左半S平面 例1 5 判断下述系统是不是线性 时不变 因果 稳定的 系统该系统是非线性 时不变 因果 稳定的 原因 取绝对值是非线性运算使系统是非线性的 它与运算时刻无关使系统是时不变的 它是即时运算 输出仅取决于当前时刻的输入值 使系统是因果的 它不改变信号最大模值使系统是稳定的 系统该系统是线性 时变 因果 稳定的 原因 系统输出仅取决于当前时刻的输入值使系统是因果的 由于乘的是一个幅值不大于1的量 使系统是稳定的 并且 系统该系统是线性 时变 非因果 稳定的 原因 在t 0时 当前时刻t的系统输
10、出值取决于将来时刻2t的输入值 函数值域没有变化 即是稳定的 系统该系统是非线性 时不变 非因果 稳定的 原因 当前时刻t的系统输出值取决于将来时刻t 2的输入值 故是非因果的 同时可判断是时不变的 请证明该系统是线性 时不变 因果 稳定的 该系统是线性 时变 非因果 不稳定的 原因是 在t 0时 t时刻的输出值取决于它的将来时段 t 0 中的输入值 当激励信号f t u t 有界时 输出响应y t tu t 却无界 典型系统的特性判断 对几个 不定 的情况 有如下说明 变量乘或加另一有界信号时 变量乘或加是稳定的 否则是不稳定的 如果变量乘或加的另一信号不随输入的延迟而延迟 则变量乘或加是时
11、变的 否则是时不变 如果另一信号与输入无关 则变量乘是线性的 否则是非线性的 如果另一信号与输入有关 则变量加是非线性的 否则是线性的 下限为的积分运算是因果 时不变的 但下限为常数的积分却是非因果 时变的 延迟是因果的 而超前是非因果的 除了无界非线性映射不稳定外 非线性映射是稳定的 1 7系统分析方法 涉及的系统分析内容 建立描述LTI系统特性的微分方程或差分方程 并对给定的激励信号计算系统的响应 计算LTI系统特性的冲激响应 研究系统传递函数及其极 零点分布 从而了解系统的频率特性及其各种响应的变化规律 研究系统的稳定性 为用计算机或用电路分析和研究LTI系统的特性 讨论系统的模拟 它不但可用于电气系统的实现 也可以进行非电系统的电模拟 注意 描述连续LTIV系统的微分方程为常系数线性微分方程 1 7系统分析方法 介绍的系统分析方法有 时域法 主要介绍微分方程 对连续系统 和差分方程 对离散系统 计算 系统响应的卷积计算法 对连续系统 及卷积和法 对离散系统 频域法 主要介绍对连续系统的傅里叶变换 拉普拉斯变换 和对离散系统的离散时间傅里叶变换和Z变换 系统频域分析和s域分析 状态变量法 主要介绍系统状态方程的建立 系统状态方程的时域法和变域法求解 线性变换对状态变量分析的影响 以及系统可控性和可观测性的概念和判断方法
