1、1离散数学关系部分综合练习一、单项选择题1设集合 A = 1, a ，则 A 的幂集 P(A) = ( ) A1, a B ,1, a C ,1, a, 1, a D1, a, 1, a 2若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（ ）A1024 B10 C100 D17集合 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系 R=|x+y=10 且 x, y A，则R 的性质为（ ）A自反的 B对称的C传递且对称的 D反自反且传递的8设集合 A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系 R = a , b a , b A , 且 a +b = 8，则 R 具有的性质为（ ）
2、A自反的 B对称的C 对称和传递的 D反自反和传递的9如果 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，则 R1R 2，R 1R 2，R 1-R2 中自反关系有（ ）个A0 B2 C1 D310设集合 A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 4 , 4 ，S = 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 3 , 2 ， 4 , 4 ，则 S 是 R 的（ ）闭包A自反 B传递 C对称 D以上都不对 11设集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若 A 的子集 B = 3 , 4 , 5，则元素 3
3、 为 B 的（ ）A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对12设 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R 是 A 上的整除关系， B=2, 4, 6，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )A8、2、8、2 B无、 2、无、2C6、2、6、2 D 8、1、6、113设 A=a, b，B=1, 2，R 1，R 2，R 3 是 A 到 B 的二元关系，且R1=, ，R 2=, , ，R 3=, ，则（ ）不是从 A 到 B 的函数AR 1 和 R2 BR 2 CR 3 DR 1 和 R324135图一2二、填空题1设集合 A 有 n 个元素，那么 A 的幂集合 P
4、(A)的元素个数为 2设集合 A a，b，那么集合 A 的幂集是 应该填写：,a,b, a,b 3设集合 A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5，R 是 A 到 B 的二元关系，,yxxyR且且则 R 的有序对集合为 4设集合 A=0, 1, 2，B =0, 2, 4,R 是 A 到 B 的二元关系，,yx且且则 R 的关系矩阵 MR5设集合 A=a,b,c，A 上的二元关系R=,，S=,则(RS) 1 = 6设集合 A=a,b,c ， A 上的二元关系 R=, , , ，则二元关系 R 具有的性质是 7若 A=1,2，R=|xA, yA, x+y=10，则 R 的自反闭包为 8设
5、 A=a， b，c，B=1，2，作 f：AB，则不同的函数个数为 三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）2如果 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1R 2、R 1R2 是自反的” 是否成立？并说明理由 3 若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合 A 的最大元为 a，最小元不存在4若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合 A 的最大元为 a，最小元不存在四、计算题4设 A=0，1，2，3，4 ，R=|xA ，y A 且 x+y|xA，y A 且 x+y3，试求 R，S，RS，R -1，S -1，r (R)图一图二35设 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
6、 9, 10, 11, 12，R 是 A 上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系 R 的表示式； （2）画出关系 R 的哈斯图；（3）求出集合 B 的最大元、最小元6设集合 A a, b, c, d上的二元关系 R 的关系图如图三所示（1）写出 R 的表达式； （2）写出 R 的关系矩阵； （3）求出 R2 7设集合 A=1，2，3，4 ，R=|x, yA；| xy|=1 或 xy=0，试（1）写出 R 的有序对表示； （2）画出 R 的关系图；（3）说明 R 满足自反性，不满足传递性五、证明题3设 R 是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意 aA，存在 bA，使得 R，
7、则 R 是等价关系 4若非空集合 A 上的二元关系 R 和 S 是偏序关系，试证明： 也是 ASR上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A 2A 7B 8B9B 10C 11C 12B 13B二、填空题12 n2, a,b,a,b 3，4 015, 6反自反的7, 88三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）a db c图三42解：成立因为 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，即 IAR1，I AR2。由逆关系定义和 IAR1，得 IA R1-1；由 IAR1，I AR2，得 IA R1R 2，I A R1R2。所以，R 1-1、R 1R 2、R 1R2 是自反的。3解：正确 对于集合 A
8、的任意元素 x，均有R（或 xRa），所以 a 是集合 A 中的最大元按照最小元的定义，在集合 A 中不存在最小元4解：错误集合 A 的最大元不存在，a 是极大元四、计算题4解：R=, S=, RS=， R-1=， S-1= S， r(R)=IA 5解：（1）R=I , , , , , , , , , , , , , （2）关系 R 的哈斯图如图四（3）集合 B 没有最大元，最小元是：26解：R, , , 10RMR2 = , , , , , , =, , 7解：（1）R=, （2）关系图如图五（3）因为, 均属于 R，即 A 的每个元素构成的有序对均在 R 中，故 R 在A 上是自反的。 因
9、有与 属于 R，但不属于 R，所以 R 在 A 上不是传递的。五、证明题12 34 6 95 78101112图四：关系 R 的哈斯图12 34图五53设 R 是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意 aA，存在 bA，使得 R，则 R 是等价关系 证明：已知 R 是对称关系和传递关系，只需证明 R 是自反关系 aA，bA，使得 R，因为 R 是对称的，故R ； 又 R 是传递的，即当 R，R R；由元素 a 的任意性，知 R 是自反的所以，R 是等价关系 4若非空集合 A 上的二元关系 R 和 S 是偏序关系，试证明： 也是 AS上的偏序关系证明：. ，所以 有自反性；SRxxx, 因为 R，S 是反对称的， ,yx yxyxSyxxy SR),(),( ),(所以，RS 有反对称性 ，因为 R，S 是传递的，Azx,z,SzyRyxy ,SxSzx ,所以， 有传递性 SR总之，R 是偏序关系
