1、3. 控制系统的时域分析法,3.1 引言3.2 稳定性分析3.3 一阶系统分析3.4 二阶系统分析3.5 高阶系统分析3.6 控制系统的稳态误差分析3.7 动态误差分析法,3.1 引言,传递函数：建立的数学模型性能分析：稳定性、动态性能和稳态性能分析分析方法：时域分析法、根轨迹法、频域分析法时域分析法：直接在时间域中对系统进行分析，具有直观，准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息,适用范围,系统微分方程(t),拉氏变换,传递函数(S),稳定性,输入信号(t),拉氏变换,拉氏变换量(S),拉氏变换量(S),输出信号(S),反拉氏变换,输出信号(t),典型输入信号,性能指标,指标的概念：反映事
2、物在一定时间和条件下的规模、程度、比例、结构等的概念和数值。由指标名称和指标数值组成。以绝对数、相对数或平均数表示。指标的划分：根据使用的场合细化，避免笼统、模糊、歧义,性能指标,硬盘驱动读取系统案例,硬盘驱动读取系统案例,硬盘驱动读取系统案例,依据？,硬盘驱动读取系统案例,硬盘驱动读取系统案例,硬盘驱动读取系统案例,3.2 稳定性分析,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下进行 自动控制理论的基本任务 分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施,稳定的基本概念,定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来
3、的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定,线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关,稳定的基本概念,基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的单位脉冲响应函数来描述。,稳定性与微分方程的关系：由于系统的稳定性由系统的结构、参数，即数学模型决定，与外界因素无关(如输入信号)，所以判断系统稳定只需要列出系统的数学模型，再加以分析即可。,稳定的基本概念,线性定常系统(SISO)：,做拉氏变换，且在零初始状态下有,输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏
4、变换之比为,系统特征方程，决定系统稳定性,稳定的基本概念,特征方程为：,求解该方程，可以得到方程的根，称之为系统的极点。,稳定的充分必要条件,线性系统稳定,闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面,充要条件,稳定的充分必要条件,如果系统的所有极点在S平面的左半边，也就是系统特征根方程的根全部具有负实部，则系统稳定。,如果系统的有极点在S平面的虚轴上，也就是系统特征根方程的根具有零实部，则系统处于稳定和不稳定的临界状态，称为临界稳定。,如果系统的有极点在S平面的右半边，也就是系统特征根方程的根具有正实部，则系统处于不稳定状态。,Routh稳定判据,(一)写出关于S的多项式方程,式中的系数为实数，
5、并且a00，即排除存在零根情况。,(二)系统稳定的必要条件：设多项式中所有的系数都存在，并且均大于零。,e.g.1,不稳定,不稳定,可能稳定,Routh稳定判据,(三)如果满足必要条件，按下列方式编写Routh计算表,Routh稳定判据,Routh计算表的前两行元素由多项式的系数所组成。 从第三行开始，各行元素按下列公式计算：,Routh稳定判据,e.g.2 接e.g.1的(3)，Routh表如下：,Routh稳定判据,(4)Routh表中第一列元素都是正数 实部为正数的根的个数等于Routh表的第一列元素符号改变的次数,由此可知e.g.1的(3)是稳定的。,Routh稳定判据的应用,e.g.
6、3 某系统的特征方程为a3S3+a2S2+a1S+a0=0，判断系统稳定的充要条件。,解: (1) 必要性：ai0，i=0,1,2,3(2) 列Routh表如下,(3) 充分性：a1a2-a3a00,Routh稳定判据的应用,e.g.4 某系统的特征方程为S4+2S3+3S2+4S+5=0，判断系统稳定性。,解: (1) 必要性：方程的全部系数为正，满足要求(2) 列Routh表如下,(3) Routh表第一列元素符号改变2次，因此系统具有2个正实部的根，系统不稳定。,Routh稳定判据的应用,e.g.5 某系统的特征方程为S4+3S3+3S2+3S+2=0，判断系统稳定性。,解: (1) 必
7、要性：方程的全部系数为正，满足要求(2) 列Routh表如下,(3) ？,Routh稳定判据的应用,Key:如果Routh表第一列元素出现0，则可以用一个小的正数 代替它，然后继续计算其他元素,改写Routh表如下,(3) 虽然Routh表第一列元素没有符号变化，但是表明有一对纯虚根存在。实际上系统的特征根为±j，1，2。所以系统是不稳定的。,Routh稳定判据的应用,e.g.6 某系统的特征方程为S4+S3+3S2+3S+2=0，判断系统稳定性。,解: (1) 必要性：方程的全部系数为正，满足要求(2) 列Routh表如下,(3) Routh表第一列元素符号改变2次，有两个正实部的
8、根，该系统不稳定。,Routh稳定判据的应用,e.g.7 某系统的特征方程为S5+S4+3S3+3S2+2S+2=0，判断系统稳定性。,解: (1) 必要性：方程的全部系数为正，满足必要条件(2) 列Routh表如下,Routh稳定判据的应用,Routh表第一列元素符号没有改变，但该系统不稳定,？如何求这些根,将特征方程进行因式分解可得,因此可得特征方程的根为,Routh稳定判据的应用,Key:如果Routh表第一行中所有元素出现0，则表明方程有一些关于原点对称的根，在这种情况下，可以利用全0行上的上一行各元素构造一个辅助方程，并以该辅助方程的导函数代替Routh表中的全0行然后继续计算其他元
9、素。,可以利用全0行上的上一行各元素构造一个辅助方程,Routh稳定判据的应用,对辅助方程求关于S的一次导数，得,用上式左边各项系数代替全为0行的S3行各元素，Routh表继续进行计算,Routh稳定判据的应用,由Routh表可见，第一列元素符号没有改变，但是有0元素，说明系统没有正实部的根，但是系统不稳定。 原方程中关于原点对称的根可以通过对辅助方程的求解得到。,可见辅助方程的根为,利用Routh稳定判据可以确定系统的个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数的取值范围,Routh稳定判据的应用,Routh稳定判据的应用,e.g.8 已知单位反馈系统的开环传递函数为,试确定使系统
10、稳定的开环放大系数K的取值。,解: 闭环系统的特征方程为,即有,Routh稳定判据的应用,根据Routh判据，系统稳定的充要条件是,使系统稳定的开环放大系数K的取值为,Routh稳定判据的应用,e.g.9 某系统的特征方程为,试确定系统稳定时的,值,解：列Routh表如下：,Routh稳定判据的应用,由系统稳定的充要条件的,Routh稳定判据的应用,稳定判据只回答了系统决定稳定性问题 系统的稳定度如何解决？,Routh稳定判据的应用,由于一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半边，而虚轴是系统的临界稳定边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离来表示系统的相对稳定性和稳定裕度。,
11、Routh稳定判据的应用,如何利用Routh判据确定系统的稳定裕度？,具体做法：把,代入原系统的特征方程，得到以Z为变量的方程，然后利用Routh判断新方程。如果满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在稳定裕度的左半边。,Routh稳定判据的应用,e.g.10 对于e.g.8系统，如果要求具有1以上的稳定裕度，试确定K的取值范围。,解：进行坐标变换，将SZ1代入原方程的特征方程，得,整理得,根据Routh判据，稳定的充要条件为,Routh稳定判据的应用,当K0.675时，特征方程为,特征根为 1,-2.6,-10.4,当K4.8时，特征方程为,特征根为 12,-1±4j,Routh
12、稳定判据的方法选择分析,e.g.11 某系统的特征方程为S3-3S+2=0，判断系统稳定性。,第一列两次变号，所以不稳定，有两个正实部的根,Routh稳定判据的方法选择分析,e.g.12 某系统的特征方程为S3-3S+2=0，判断系统稳定性。,？变换后第一列又出现了单个零,Routh稳定判据的方法选择分析,e.g.13 某系统的特征方程如下，判断系统稳定性。,？变换后第一列变号3次，有3个正实部的根,胡尔维茨稳定判据,(一)写出关于S的多项式方程,式中的系数为实数，并且an0，即排除存在零根情况。,(二)系统稳定的必要条件：设多项式中所有的系数都存在，并且均大于零。,胡尔维茨稳定判据,(三)利
13、用各项系数写成主行列式形式,充分条件：i0（i=1,2, ,n-1,n-2）,e.g.13 已知系统特征方程S4+2S3+3S2+4S+5=0，试用胡尔维茨判据分析系统稳定性。,解:(1)必要条件满足,(2)写出,胡尔维茨稳定判据,(3)求i,(4)按照充分条件系统不稳定。,动态过程和稳态过程,动态过程和稳态过程,在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程组成动态过程的定义：过渡或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出从初始到最终状态的响应过程动态过程产生的原因：惯性、摩擦等动态过程除了表明系统的稳定性外，还可以提供系统的响应速度及阻尼大小情况,动态过程和稳态过程,
14、稳态过程：指系统在典型输入信号下，当时间趋于无穷，系统输出量的表达方式表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息,动态性能和稳态性能,动态性能测试的典型信号：阶跃函数动态性能的定义：描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下动态过程随时间变化状况的指标假定条件：假定系统在单位阶跃函数作用前处于静止状态，并且输出量及其各阶导数等于零,h(t),h(),0.9h(),0.5 h(),0.1 h(),t,误差带,超调量,延迟 时间td,上升时间tr,峰值时间tp,调节时间,0,1) 延迟时间Td：指响应曲线第一次达到其终值一半所需时间 2) 上升时间Tr：指响应从终值10%上升到终值90
15、%所需时间。对有振荡的系统，可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间 3) 峰值时间Tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需时间 4) 调节时间Ts：指响应到达并保持在终值5%内所需最短时间 5) 超调量：指响应的最大偏离量与终值之差的百分比,小结,1、tr或者tp评价系统的响应速度,2、超调量评价系统的阻尼程度,3、ts反应阻尼程度和响应速度,4、高阶系统的动态性能指标很难用解析式表达,稳态性能,稳态性能：假设时间趋于无穷，系统输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差,输入信号：阶跃函数、斜坡函数、加速度,稳态误差：系统控制精度或者抗干扰的一种度量,3.3 一阶系统分析,自动控
16、制系统的传递函数是一个复变量S的真有理分式，若分母的阶数为1，则称其为一阶系统。,其闭环传递函数为,式中,一阶系统分析,其闭环传递函数为,式中,一阶系统分析,可见一阶系统可以表示成为一个一般形式,同一数学模型的线性系统，对同一输入信号的时间响应相同，但其物理意义不同。为了研究方便令K=1，对线性系统，其时间响应必须乘以实际的K值,一阶系统分析,在单位阶跃信号作用下，时间响应为,稳态分量,暂态分量,一阶系统分析,一阶系统分析,性能指标延迟时间td（Delay Time）,性能指标上升时间tr（Rise Time）,一阶系统分析,性能指标调节时间ts(Setting Time),取-5%时,取-2
17、%时,性能指标稳态误差,所以一阶系统为无差系统,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,3.4 二阶系统分析,自动控制系统的传递函数是一个复变量S的真有理分式，若分母的阶数为2，则称其为二阶系统。,研究意义：,1、实际控制系统中，二阶系统的典型应用极为普遍 2、高阶系统经过简化可以用二阶系统的特性来表示,二阶系统的一般形式,二阶系统的一般形式,将上式进行整理可得,式中,二阶系统的一般形式,可见二阶系统可以表示成为一个一般形式,为了研究方便可以令K=1。由于讨论的是线性系统，所
18、得到的时间响应必须乘以实际的K值。,式中 阻尼比 无阻尼振荡频率或者自然频率,二阶系统的一般形式,再令,则有,二阶系统的一般形式,其传递函数结构图,二阶系统的特征根,特征方程,或者,特征根：,二阶系统的特征根,两个特征根都有正实部，系统不稳定,如果,负阻尼,二阶系统的特征根,负阻尼,二阶系统的特征根,如果,两个特征根都没有实部，系统不稳定,无阻尼,二阶系统的特征根,无阻尼,二阶系统的特征根,如果,两个特征根都有负实部，系统稳定,欠阻尼,二阶系统的特征根,欠阻尼,二阶系统的特征根,如果,两个特征根都有负实部，系统稳定,临界阻尼,二阶系统的特征根,临界阻尼,二阶系统的特征根,如果,两个特征根都有负
19、实部，系统稳定,过阻尼,二阶系统的特征根,过阻尼,二阶系统的特征根,临界阻尼与过阻尼趋于稳定的时间不一样,二阶系统的单位响应欠阻尼,欠阻尼,令,阻尼振荡频率,衰减系数,二阶系统的单位响应欠阻尼,当输入量,输出量,式中,二阶系统的单位响应,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个部分组成，稳态分量为1，说明稳态误差为0，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，取决于包络线收敛的速度,包络线,二阶系统的单位响应,无阻尼,输出,振荡曲线平均值为1，振荡频率为Wn 的等幅振荡曲线,振荡频率为,无阻尼振荡,二阶系统的单位响应,临界阻尼,输出量,其二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，其斜率为,二阶系统的单
20、位响应,过阻尼,输出量,二阶系统的单位响应,其中,其二阶系统的单位阶跃响应不会超过稳态值1，是一个非振荡环节,二阶系统单位阶跃响应,二阶系统单位阶跃响应,二阶系统的性能指标,延迟时间,采用试探法：用wntd为设定值代入上式，求响应的阻尼值，可以作出相应的关系曲线，然后采用曲线拟合法可以得出,二阶系统的性能指标,上升时间,按照tr的定义，可知,即,二阶系统的性能指标,峰值时间,得,当,按照tr的定义，可知,二阶系统的性能指标,超调量,二阶系统的性能指标,调节时间,二阶系统的性能指标,总结：,越大，cos 越小则延迟时间，上升时间，峰值时间越小，响应越快 2) Wn越大，Wd越大则延迟时间，上升时
21、间，峰值时间越小，响应越快 3) 超调量仅与有关， 越小，超调量越大,二阶系统的性能指标,例：,系统如图所示，要求性能指标,试确定系统参数K、A，并计算,二阶系统的性能指标,解：,由图知该系统传递函数,与标准形式对比可知,1）,二阶系统的性能指标,2）,3）,确定系统参数K、A,二阶系统的性能指标,4）,计算其他性能指标,高阶系统分析,高阶系统的动态性能指标复杂 利用主导极点的概念对高阶系统进行降阶分析 利用仿真软件直接分析,高阶系统分析,假设闭环传递函数,将该函数分解为,响应为,传递函数的极点和零点对输出的影响,1.零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大 2.零点距极点的距离越
22、近，该极点所产生的模态所占比重越小 3.如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,传递函数的极点和零点对输出的影响,1.极点相同时，零点接近原点并且远离极点，其模态所占比重较大 2.极点相同时，零点远离原点并且靠近极点，其模态所占比重较小,高阶系统主导极点问题,例：,系统传递函数,试分析其动态性能,高阶系统主导极点问题,高阶系统主导极点问题,单位阶跃响应,第二项模值较大，其衰减的较慢 第三项模值较小，存在时间短，可将其忽略,高阶系统主导极点问题,单位阶跃响应改写成,高阶系统主导极点问题,闭环主导极点,在所有闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离
23、虚轴，那么该极点所对应的分量随时间的推移衰减的慢，而且其系数较大，衰减较慢,控制系统的稳态误差分析,稳态误差的组成：,系统仅仅受到输入信号的作用而没有任何扰动时的误差 没有输入信号，而扰动作用于系统上时的误差,稳态误差与系统结构、参数、及输入量有关系,控制系统的稳态误差分析,稳态误差ess的定义：,从输入端定义：输入信号r(t)与主反馈信号b(t)之差可测量，有物理含义 从输出端定义：输出量的期望值与实际值之差经常使用，有时无法测量，只有数学意义,控制系统的稳态误差分析,误差本身是时间的函数，可以分解为稳态分量和暂态分量,控制系统的稳态误差分析,稳态误差的计算方法： 1）静态误差系数法终值定理
24、 2）动态误差系数法误差的时间表达式,静态误差系数法,终值定理：,静态误差系数法,如果,则误差的终值,V=0，称为0型系统(零阶无差度系统) V=1，称为I型系统(一阶无差度系统) V2，称为II型系统(二阶无差度系统),静态误差系数法,输入为阶跃信号时，稳态误差,输入信号,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,输入为阶跃信号时静态位置误差系数Kp,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,输入为速度信号时，稳态误差,输入信号,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,输入为速度信号时静态速度误差系数Kv,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,输入为加速度信号时
25、，稳态误差,输入信号,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,输入为加速度信号时静态速度误差系数Ka,0型系统,I型系统,II型系统,静态误差系数法,静态误差系数法,缺点： 1）仅适用于典型信号 2）只可以得出稳态误差终值,动态误差分析法,已知：,现将,在S0处做Taylor级数展开,则有,动态误差分析法,对上式做反拉氏变换,C0动态位置误差系数 C1动态速度误差系数 C2动态加速度误差系数,例：,试用动态误差系数法，求出典型一阶系统在单位加速度信号作用下的稳态误差表达式,1）写出误差传递函数,2）写出输入量的各阶导数,3）将误差传递函数对S求导，并使S0,其中,总结,1、稳定判据特殊情况,2、系统动态性能指标的定义,3、一阶、二阶系统的动态性能指标,4、高阶系统的性能分析主导极点,5、三种典型信号的稳态误差,
