1、 3 6线性系统的稳态误差计算 稳态误差是衡量系统控制精度的静态 指标 反映系统的准确性 实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同 其稳态输出量不可能完全与输入量一致 也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点 系统存在摩擦 间隙 不灵敏区等非线性因素 会造成附加的稳态误差 控制系统设计时应尽可能减小稳态误 差 当稳态误差足够小 可以忽略不计的时候 可以认为系统的稳态误差为零 这种系统称为无差系统 而稳态误差不为零的系统则称为有差系统 注意 只有当系统稳定时 才可以分 析系统的稳态误差 3 6 1误差与稳态误差 控制系统如图所示 比较器的输出 R s H s C s E s 称为误
2、差信号 简称误差 偏差 系统在E s 作用下产生动作 使输出量趋于希望值 误差定义方式 从输入端定义的误差 从输出端定义的误差 从输入端定义的误差是系统设定输入量与主反馈量之差 即 1 从输入端定义的误差 e t r t b t 这种定义有现实的物理意义 在实际系统中可以测量 从输出端定义的误差是系统输出量的期望值与实际值之差 即 2 从输出端定义的误差 e t cr t c t cr t 是与系统设定输入量r t 相应的期望输出量 这种定义在实际系统中往往不可测 3 两种误差定义的关系 1 从系统输出端来定义的误差 它在性能指标提 法中经常使用 但在实际系统中无法测量 因而 一般只有数学意义
3、 2 而从系统的输入端来定义的误差 它在实际系 统中是可以测量的 因而具有实用性 3 对于单位反馈系统 要求输出量c t 的变化规律与给定输入r t 的变化规律完全一致 所以给定输入 此时 上述两种定义统一为 e t r t c t 对于单位反馈系统 误差的两种定义形式是一致 的 r t 也就是输出量的希望值cr t 即cr t r t 控制系统结构图 等效单位反馈系统结构图 对于非单位反馈系统 若设两种形式的误差为E s 与E s 则E s 与E s 之间存在如下关系 两种定义对非单位反馈系统是存在差异的 但两种定义下的误差之间具有确定的关系 它们都能反映控制系统的控制精度 在下面的讨论中
4、我们将采用第一种误差定义 E s H s E s e lime t t 误差传递函数 er s 1 G s H s R s ess lime t limsE s 4 稳态误差 由拉斯变换的终值定理可得 t s 0 limss 0 R s 1 Gk s limss 0 R s 1 G s H s 当t 时 系统的误差称为稳态误差 用ess来表示 即 ssE s 1 注意 拉斯变换的终值定理的使用是有条件的 即sE s 的极点均位于s左半平面 包括坐标原点 K is 1 Ts 1 s 3 6 2系统类型稳态误差的计算与系统的类型有关 而系统的类型是由开环传递函数决定的 一般系统的开环传递函 K 系
5、统的开环放大倍数 i和Tj 时间常数 v 开环传递函数中积分单元的个数 即开环传递函数在原点处极点的个数 v 0 1和2的系统分别称为0型系统 型系统和 型系统 v j mi 1n vj 1 数可以表示为 Gk s G s H s 尾1型 lims K is 1 Ts 1 s v j t s 0 s 0 R s mi 1n vj 1 limss 0 limss 0 R s 1 G s H s R s 1 Gk s 1 ess lime t limsE s 1 ess K js 1 1 Kpj 1 s0 is 1 在单位阶跃输入下 给 定稳态误差决定于系统的 位置稳态误差 对于0型 e 系统v
6、01 Kp1 K K 3 6 3稳态误差和静态误差系数的计算1 单位阶跃输入作用下的稳态误差和静态误差系数对于单位阶跃输入r t 1 t R s 1 s 得系统的稳态误差为 ms 0i 111 Kp limnss lim K sv is 1 1 1 Kp v 1 对于 型系统 或高于 型的系统 mK js 1 j 1pn vs 0i 1 ess 0 0型系统中没有积分环节 它对阶跃输入的稳态误差为一定值 误差的大小与系统的开环放大系数K成反比 K越大 ess越小 只要K不是无穷大 系统总有误差存在 对实际系统来说 通常是允许存在稳态误差的 但不允许超过规定的指标 为了降低稳态误差 可在稳定条件
7、允许的前提下 增大系统的开环放大系数 若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零 则必须选用1型或高于1型的系统 lim 2 lim 令 Kv limsG s H s 在单位斜坡输入下 给定稳态误差决定于速度误差系数 1sG s H s s 0 s 0 s11 G s H s s ess 2 单位斜坡输入作用下的稳态误差和静态误差系数对于单位斜坡输入 r t t R s 此时系统的稳态误差为 s 0 静态速度误差系数 1Kv 稳态误差可表示为 ess ess lim s0 is 1 lim ess lim s1 is 1 s 0 s 0 mj 1ni 1 K js 1 Kv limsG s H s s
8、 0 1Kv v K s 0 s 0 mj 1n 1i 1 K js 1 s K 1 对于0型系统v 0 2 对于 型系统v 1 sG s H s 11KvK 0 sv is 1 mj 1n vi 1 K js 1 Kv lims ess s 01Kv 3 对于 型系统 或高于 型的系统 v 2 在单位斜坡输入作用下 0型系统的稳态误差为 而 型系统的稳态误差为一定值 且误差与开环放大倍数成反比 为了使稳态误差不超过规定值 可以增大系统的K值 型或高于 型系统的稳态误差总为零 因此 对于单位斜坡输入 要使系统的稳态误差为一定值或为零 必需v 1 也即系统必须有足够积分环节 ess lim s0
9、 is 1 3 单位抛物线输入作用下的稳态误差和静态误差系数 对于单位抛物线输入 此时系统的稳态误差为s11s 01 G s H s s3s2G s H s s 0令 Ka lims2G s H s 静态加速度误差系数s 0 s2 mj 1ni 1 K js 1 0 Ka ess s 01Ka 1Ka 1 对0型系统 0 ess lim lim lim s1 is 1 lim s2 is 1 s2 mj 1ni 1 K js 1 0 Ka ess s 01Ka 2 对于 型系统 1 a K s2 s 0 mj 1n 2i 1 K js 1 K 1K 1Ka ess 3 对于 型系统 2 型系统
10、的稳态误差为一定值 且误差与开环放 表明 在单位抛物线输入作用下 0型和 型系统的稳态 误差为 大系数成反比 对 型或高于 型的系统 其稳态误差为零 但是 此时要使系统稳定则比较困难 4 对于 型系统 或高于 型的系统 v 3 4 各种典型输入信号作用下 不同类型系统的给定 稳态误差 稳态误差值可能为0 有限值或无限大三种情况 取决 于输入信号的形式和系统的型别 增加系统前向通道G s 或反馈通道H s 中积分环节的个数 v值 可以提高系统的无稳态误差的等级 或称为 误差度阶数 在稳态误差为有限值的情况下 增大系统的开环放大系数K可以减少系统的稳态误差 必须注意 增加开环传递函数中的零值极点
11、增加积分环节 或增大系统的开环放大系数K 使系统的静态 性能得到改善的同时 往往使系统的动态品质变差 甚至导致系统不稳定 r t R0 1 t R12t t 若输入信号为多种信号的组合 如 2 12 R 由线性系统的叠加性 将每一输入单独作用于系统 再将稳态误差分量叠加得 R1R2KvKa ess R01 Kp Kv limsG s 2 5 例1 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 G s 5s s 1 s 2 试求系统输入分别为1 t 10t 3t2时 系统的稳态误差 解 由劳斯稳定判据分析可知 该系统是闭环稳定的 略 由于此系统为 型系统 系统的静态速度误差系 数为 s 0 当r t 1
12、 t 时 稳态误差ess 0 1Kv当r t 3t2时 稳态误差ess 当r t 10 t 时 稳态误差ess 10 4 例2 已知两个系统分别如图 a b 所示 输入r t 4 6t 3t2 试分别计算两个系统的稳态误差 解 图 a 为 型系统 它不能跟踪输入信号的加速度分量3t2 所以该系统的稳态误差ess 图 b 为 型系统 开环放大倍数为K 10 4 查表可知 系统的稳态误差为1Ka s 例3 如图所示系统的输入信号r t 10 5t 试 分析系统的稳定性并求出其稳态误差 解 由图得系统的特征方程为 2s3 3s2 1 0 5K s K 0 由特征方程列劳斯表 s3s21s0 1 0
13、5KK 233 1 0 5K 2K3K 要使系统稳定 必须 K 0 3 1 0 5K 2K 0所以 当0 K 6时 系统是稳定的 limG s lim 系统的开环传递函数为 K 0 5s 1 s s 1 2s 1 系统的稳态误差系数分别为 s 0s 0 Kp K 0 5s 1 s s 1 2s 1 K 0 5S 1 s 0s 0s s 1 2s 1 所以 输入信号r t 10 5t时系统的稳态误差为 ess 10551 KpKvK 稳态误差与K成反比 K值越大 稳态误差越小 但K值的增大受到稳定性的限制 当K 6时 系统将不稳定 limsG s lim Kv 扰动输入可以作用在系统的不同位置
14、因此 即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零 但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零 根据线性系统的叠加原理 讨论由扰动输入所产生的稳态误差 3 6 4扰动作用下的稳态误差控制系统除了受到给定输入的作用外 通常还受到扰动输入的作用 系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小 反映了系统的抗干扰能力 例3 13 设比例控制系统如图所示 图中R s R0 s为阶跃输入信号 M为比例控制器输出转矩 用以改变被控对象的位置 N s n0 s为阶跃扰动转矩 试求系统的稳态误差 解 由题意得系统为 型系统令扰动N s 0 则系统对阶跃输入信号的稳态误差为0 令输入R s 0 则系统在扰动下的输出量为
15、 K2s T2s 1 K1K2所以 系统误差信号为 Cn s 3 6 5减小或消除稳态误差的措施 1 增大系统开环增益K或扰动作用点之前的系统 前向通道增益K1 从表中可以看出 0型系统跟踪单位阶跃信号 型系统跟踪单位斜坡信号 型系统跟踪恒加速信号时 其系统的稳态误差均为常值 且都与开环放大倍数K有关 若增大开环放大倍数K 则系统的稳态误差可以显著下降 提高开环放大倍数K固然可以使稳态误差下 降 但K值取得过大会使系统的稳定性变坏 甚至造成系统的不稳定 2 在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节 增加系统型别 从表可以看出 若开环传递函数 H s 1时 开环传递函数就是系统前向通道传递函数
16、 中没有积分环节 即0型系统时 跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为常值 若开环传递函数中含有一个积分环节 即 型系统时 跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为零 若开环传递函数中含有两个积分环节 即 型系统时 则系统跟踪阶跃输入信号 斜坡输入信号引起的稳态误差为零 3 采用复合控制 采用复合控制 即在反馈控制基础上引入顺馈 也称前馈 补偿 这种方法可以在基本不改变系统动态性能的前提下 有效改善系统的稳态性能 小结 本章根据系统的时间响应分析了系统的动 态性能 稳态性能以及稳定性 1 通过讨论系统在典型信号下的时间响应 定义了描述系统动态和稳态性能的一系列指标 动态性能指标通常用单位阶跃响应的上升时间 超调量和调节时间表示 稳态性能用稳态误差表示 2 分析了一阶 二阶和高阶系统在一些典型输入信号作用下的时间响应 重点研究了二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应 以及其动态性能指标的计算方法 还指出 对于高阶系统在一些条件下可以用低阶系统代替 3 系统的稳定性是系统正常工作的前提 本章简要介绍了稳定性的概念 指出线性定常系统的稳定性由其闭环极点的位置决定 同时还介绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别方法 劳斯判据 4 稳定的控制系统存在控制精度问题 这个控制精度通常用稳态误差来描述 本章给出了控制系统稳态误差的定义 计算方法以及减小稳态误差的途径
