1、 第七节 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动目录上页下页返回结束 主要内容 一 弧微分 二 曲率及其计算公式 三 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 一 弧微分 设 在 a b 内有连续导数 其图形为AB 弧长 机动目录上页下页返回结束 则弧长微分公式为 或 几何意义 若曲线由参数方程表示 机动目录上页下页返回结束 二 曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段 其长为 对应切线 定义 弧段上的平均曲率 点M处的曲率 注意 直线上任意点处的曲率为0 机动目录上页下页返回结束 转角为 例1 求半径为R的圆上任意点处的曲率 解 如图所示 可见 R愈小 则K愈大 圆弧弯
2、曲得愈厉害 R愈大 则K愈小 圆弧弯曲得愈小 机动目录上页下页返回结束 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 曲率K的计算公式 二阶可导 设曲线弧 则由 机动目录上页下页返回结束 说明 1 若曲线由参数方程 给出 则 2 若曲线方程为 则 机动目录上页下页返回结束 例2 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线 处的曲率 点击图片任意处播放 暂停 说明 铁路转弯时为保证行车 平稳安全 求此缓和曲线在其两个端点 机动目录上页下页返回结束 且l R 其中R是圆弧弯道的半径 l是缓和曲线的长度 离心力必须 连续变化 因此铁道的 曲率应连续变化 例2 我国铁路常用立方抛物线 作缓和曲线 且l R 处的曲
3、率 其中R是圆弧弯道的半径 l是缓和曲线的长度 求此缓和曲线在其两个端点 机动目录上页下页返回结束 解 显然 例3 求椭圆 在何处曲率最大 解 故曲率为 K最大 最小 机动目录上页下页返回结束 求驻点 设 从而K取最大值 这说明椭圆在点 处曲率 机动目录上页下页返回结束 计算驻点处的函数值 最大 三 曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点 在点 在曲线 把以D为中心 R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率圆 密切圆 R叫做曲率半径 D叫做 曲率中心 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系 1 有公切线 2 凹向一致 3 曲率相同 M处作曲线的切线和法线 的凹向一侧法线上取点D使 机动目录上页下页返回
4、结束 设曲线方程为 且 求曲线上点M处的 曲率半径及曲率中心 设点M处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 机动目录上页下页返回结束 由此可得曲率中心公式 当点M x y 沿曲线 移动时 的轨迹G称为曲线C的渐屈线 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线C称为曲线G的渐伸线 机动目录上页下页返回结束 屈线的参数方程 参数为x 点击图中任意点动画开始或暂停 例4 设一工件内表面的截痕为一椭圆 现要用砂轮磨 削其内表面 问选择多大的砂轮比较合适 解 设椭圆方程为 由例3可知 椭圆在 处曲率最大 即曲率半径最小 且为 显然 砂轮半径不超过 时 才不会产生过量磨损 或有的地方磨
5、不到的问题 例3目录上页下页返回结束 仍为摆线 例5 求摆线 的渐屈线方程 解 代入曲率中心公式 得 摆线目录上页下页返回结束 摆线 半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时 点击图中任意点动画开始或暂停 其上定点M 的轨迹即为摆线 参数的几何意义 摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 弧长微分 或 2 曲率公式 3 曲率圆 曲率半径 曲率中心 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系 答 有公切线 凹向一致 曲率相同 2 求双曲线 的曲率半径R 并分析何处R最小 解 则 利用 机动目录上页下页返回结束 作业 第八节目录上页下页返回结束 P1754 5 7 8 9
