第七节,曲线弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,则弧微分公式为,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,一、 弧微分,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率:,点 M 处的曲率:,注意: 直线任意点的曲率= 0 圆上任意点的曲率=1/r,转角为,曲率K 的计算公式：,二阶可导.,，其中曲线弧,说明:,(2) 若曲线由参数方程,给出, 则,有曲率近似计算公式,(1),例1. 求椭圆,在何处曲率最大?,例2. 求抛物线 在何处曲率最大？,三、 曲率圆与曲率半径,曲线在点 M 处的曲率圆，,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,点M 处的曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,例3. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,例4. 求双曲线,的曲率半径 R , 分析何处 R 最小?,内容小结,1. 弧微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,作业,P177 5,
