1、一幂级数 定理1如果幂级数 的系数满足条件 则 1 当0 l 时 2 当l 0时 R 3 当l 时 R 0 二幂级数的收敛半径 三 幂级数的性质 1加减法 设f x 和g x 的收敛半径 分别各为R1 0和R2 0 则 f x g x 的收敛半径R min R1 R2 2设幂级数的收敛半径R 0 则在收敛区间 R R 内 其和函数S x 是连续函数 若级数在端点收敛 则S x 在端点单侧连续 3幂级数的和函数S x 在收敛区间 R R 内可导 并可以逐项求导任意次 且求导后级数的收敛半径不变 即f x x R R 4幂级数的和函数S x 在收敛区间 R R 内可积 并可逐项求积分 且积分后级数
2、的收敛半径不变 x R R 即 n 1 anxn 注 常用已知和函数的幂级数 1 1 x 1 2 3 4 5 5 二 麦克劳林 Maclaurin 公式 三 泰勒级数 一 泰勒公式的建立 7 6泰勒 Taylor 公式与泰勒级数 一次多项式 在微分的应用中有近似计算公式 若f x0 存在 则在x0点附近有 f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0 o x x0 需要解决的问题 如何提高精度 如何估计误差 不足 1 精确度不高 2 误差不能定量的估计 希望 在x0点附近 用适当的高次多项式 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n
3、f x 一 泰勒公式 猜想 2若有相同的切线 3若弯曲方向相同 近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1若在x0点相交 Pn x0 f x0 Pn x0 f x0 Pn x0 f x0 y f x 假设Pn k x0 f k x0 y Pn x x0 即有 Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 假设Pn k x0 f k x0 Pn n x n an Pn x a1 2a2 x x0 3a3 x x0 2 nan x x0 n 1 Pn x 2a2 3 2a2 x x0 n n 1 an x x0 n 2 a0 f x0 2a2 f x0 n an f n
4、x0 k 0 1 2 3 n 令x x0得 a1 f x0 a0 f x0 a1 f x0 k 0 1 2 3 n 代入Pn x 中得 Pn x f x0 f x0 x x0 x x0 2 x x0 n Pn x a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n 称为函数f x 在x0处的泰勒多项式 k 0 1 2 3 n 称为泰勒系数 f x Pn x o x x0 n 其中 定理1 泰勒中值定理 若函数f x 在x0点的某邻域UR x0 内具有直到n 1阶连续导数 则当x取UR x0 内任何值时 f x 可按 x x0 的方幂展开为 f x f x0 f x0 x x0 在x0
5、与x之间 Rn x 公式 1 称为函数f x 在x0处的泰勒公式 1 Rn x 称为拉格朗日 Lagrange 余项 泰勒系数 k 0 1 2 n 是唯一的 设f x f x0 f x0 x x0 k 证 由于f x 在UR x0 内具有n 1阶连续导数 作辅助函数 t f x f t f t x t x 0 x0 不妨设x0 x 则 t 在 x0 x 连续 在 x0 x 可导 罗尔定理知 至少存在一点 x0 x 使 0 因 t f t f t x t f t 所以 x0 x 故 解得k f n 1 x0 x时同理可证 其中 f x f 0 f 0 x 1 当x0 0时 在0与x之间 或令 x
6、 0 1 则 Rn x 称为函数f x 的麦克劳林 Maclaurin 公式 2 f x f x0 f x0 x x0 其误差为 Rn x 解 例1 求f x ex在x 0的n阶泰勒公式 因为f n x ex n 1 2 3 所以f n 0 e0 1 n 1 2 3 于是f x ex在x 0的n阶泰勒公式为 其中 0 1 定义如果函数f x 在x0的某邻域内是存在任意阶导数 则幂级数 称为函数f x 在x0处的泰勒级数 f x0 f x0 x x0 二 泰勒级数 称为函数f x 的麦克劳林级数 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f x 不一定 解 例2 求f x sinx在x 0的泰勒级数 当
7、n 2k时 f 2k 0 sin k 0 k 0 1 2 当n 2k 1时 f 2k 1 0 sin k 1 k 得 因 0 于是R 定理2f x 在x0点的泰勒级数在UR x0 内收敛于f x 在UR x0 内 Rn x 0 0 所以sinx 0 其中 收敛区间为 x 即 麦克劳林多项式逼近sinx y sinx y x 7 7初等函数的幂级数展开式 一 直接法 泰勒级数法 二 间接法三 常见函数的幂级数展开式 步骤 1 求f n x n 0 1 2 4 讨论 并求出其收敛区间 3 写出幂级数 利用泰勒公式或麦克劳林公式将f x 展开为幂级数 若为0 则幂级数在此收敛区间内等于函数f x 若
8、不为0 则幂级数虽然收敛 但它的和不是f x 一 直接法 泰勒级数法 2 计算an f n x0 n 0 1 2 解 例1将f x ex在展开成x的幂级数 因f n x ex n 1 2 3 f n 0 e0 1 于是f x ex在x 0的麦克劳林级数为 其中 0 1 0 所以ex 1 x x 收敛区间为 二项展开式 nxn 1 xn 1 x n 1 nx 1 x 1 x 解 例2将f x 1 x 展开成x的幂级数 n 0 1 2 f n 0 1 2 n 1 1 得 1 x n 1 2 n 1 1 x n 注意 当x 1时 级数的收敛性与 的取值有关 1 收敛区间为 1 1 1 0 收敛区间为 1 1 0 收敛区间为 1 1 所以 1 x 的泰勒级数的收敛区间是 1 1 x 1 1 1 x 1 x 牛顿二项式展开式 当 1时 x 1 1 1 x x2 x3 1 nxn 三 小结 1 如何求函数的泰勒级数 2 泰勒级数收敛于函数的条件 3 函数展开成泰勒级数的方法
