1、1,4.1 整数规划的特点及应用 4.2 分配问题与匈牙利法 4.3 分枝定界法 4.4 0-1型整数规划,4 整数规划,2,4.1 整数规划问题的特点及应用,在求解线性规划问题时，得到的最优解可能是分数或小数，但许多实际问题要求得到的解为整数才行。这种要求线性规划有整数解的问题,称为整数规划(Integer Programming)或简称IP。,例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如下： 货物集装箱 体积(米3) 重量(百斤) 利润(百元) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制 24 13 问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？,
2、3,是不是可通过把不考虑整数要求求得的最优解经过“化整”得到满足整数要求的最优解呢？,它和线性规划问题的区别在于条件(5)。,此例可解得x1=4.8,x2=0，凑整为x1=5,x2=0，这就破坏了条件(2)，因而不是可行解；如截断小数变为x1=4,x2=0，这当然满足所有约束条件，但不是最优解，因为对x1=4,x2=0有z80，而对x1=4,x2=1（也是可行解）有z90。因此要专门研究整数规划的解法。,4,整数规划的模型对管理问题的研究意义重大。很多管理问题无法归结为线性规划的数学模型，但是可以通过设置逻辑变量，建立起整数规划的数学模型。,1. m个约束条件中只有k个起作用,2. 约束条件的
3、右端项可能是r个值（b1,b2,br）中的某一个,5,3. 两组条件中满足其中一组,若x14，则x21；否则（ 即x14时 ）， x2 3。,4. 用以表示含固定费用的函数,例如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通常可表示为：,式中Kj是同产量无关的生产准备费用。问题的目标函数是使所有产品的总生产费用为最小。,6,例 有一份说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需的时间如下表。问应指派哪个人完成哪项工作，使所需的总时间最少？,4.2 分配问题与匈牙利法,7,指派问题的求解，最简便易行的方法是匈牙利法。,可见指派问题是0-1型整数规划的
4、特例。不难发现，指派问题也是运输问题的特例，其产地和销地数都为n，各产地的产量和各销地的销量都为1。,8,匈牙利法基于这样一个明显的事实：如果系数矩阵的所有元素满足cij0，而其中有n个位于不同行不同列的一组0元素，则只要令对应于这些0元素位置的xij1，其余的xij0，就得到最优解。,匈牙利法求解分配问题的步骤如下：,9,第一步：变换系数矩阵，使每行每列都出现0元素。(1)系数矩阵的各行分别减去各行中的最小元素；(2)所得系数矩阵的各列再分别减去各列中的最小元素。 第二步：试求最优解。 (1)给只有一个0元素（不含划去的0）的行中的“0”画，划去与同列的其它“0”； (2)给只有一个0元素（
5、不含划去的0）的列中的“0”画，划去与同行的其它“0”； (3)重复(1)、(2)，直到无新的画出。若系数矩阵中已无未画也未划去的“0”，则已得到最多的，转(5)；否则，便出现了0元素的闭回路，转(4)。 (4)从0元素的闭回路上任选一个“0”画，划去其同行同列的其它“0”，转(1)。 (5)显然，按上述步骤得到的是位于不同行不同列的。若已达n个，则指派问题的最优解已得到，结束计算；否则，转第三步。,10,第三步：用最少的直线覆盖所有0元素。 (1)给无的行打“”； (2)给打行中含有0元素的列打“”； (3)给打列中含有元素的行打“”； (4)重复(2)、(3)，直到无新的“”打出。 (5)
6、给没有打的行画横线，给打的列画纵线。 第四步：变换系数矩阵，增加0元素。在未被画线覆盖的其它元素中找出最小元素，各打“”行减去最小元素，各打“”列加上最小元素，转第二步。,11,例 求下列指派问题的最小解。,解： 12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9,5 0 2 0 22 3 0 0 00 10 5 7 29 8 0 0 40 6 3 6 5,7 0 2 0 2 4 3 0 0 0 0 8 3 5 011 8 0 0 4 0 4 1 4 3,于是此问题的最优解为:甲B,乙C,丙E, 丁D, 戊A,所需的总费用为：M
7、in z=7+6+9+6+4=32,12,几种特殊指派问题的处理：,1、目标为取极大值的情况。把系数矩阵中的元素都取其相反数。,2、任务数多于人数的情况。虚设人，而虚人完成各项任务的代价一般都定为0。,3、人数多于任务数的情况。虚设任务，每个人完成虚任务的代价一般都定为0。,13,分枝定界法是20世纪60年代由Land-Doig和Dakin等人提出的。这种方法既可用于纯整数规划问题，也可用于混合整数规划问题，而且便于用计算机求解，所以很快成为解整数规划的最主要的方法。,4.3 分枝定界法,设有最大化的整数规划问题R，与它相应的线性规划问题为R0，分枝定界法的做法是：,14,15,R0: z0=
8、356 x1=4.81 x2=1.82,R1:z1=349 x1=4.00 x2=2.10,R2:z2=341 x1=5.00 x2=1.57,R12:z12=327x1=1.42x2=3.00,x23,R11:z11=340x1=4.00x2=2.00,R21:z21=308x1=5.44x2=1.00,R22:无可行解,x1 4,x1 1,x15,x12,问题R0为:Max z=40x1+90x2 9x1+7x256 7x1+20x270 x1,x20,问题R2为:Max z=40x1+90x2 9x1+7x256 7x1+20x2 70 x1 5 x1,x2 0,问题R1为:Max z=
9、40x1+90x2 9x1+7x256 7x1+20x2 70 x1 4 x1,x20,x2 2,问题R11为:Max z=40x1+90x2 9x1+7x256 7x1+20x2 70 x1 4 x2 2 x1,x20,问题R12为:Max z=40x1+90x2 9x1+7x256 7x1+20x2 70 x1 4 x2 3 x1,x2 0,16,0-1型整数规划是整数规划的一种特殊形式，它的变量xj仅取值0或1。这种只能取0或1的变量称为0-1变量或二进制变量。,例: 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置Ai（i=1,2, ,7）可供选择。规定：(1)在东区A1、A2、
10、A3三个点中至多选两个；(2)在西区A4、A5两个点中至少选一个；(3)在南区A6、A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但投资总额不超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？,4.4 0-1型整数规划,17,Max z= c1x1+c2x2+c7x7,b1x1+b2x2+b7x7B,x1+x2+x32,x4+x51,x6+x71,xi=0或1, i=1,2,7,于是建立下列模型:,18,求解0-1型整数规划最常用的方法是隐枚举法。 虽然0-1型整数规划的变量取值比较简单，但当变量个数n较大时，要使用穷举法求解，即对变量取值为0或1的每一种组
11、合验证约束条件、比较目标函数值以求得最优解，其计算量仍然是难以完成的。隐枚举法通过引入过滤条件，将大量不可能是最优解的变量取值组合滤掉，从而大幅度减少了计算量。下面用举例说明：,例 Max z3x1-2x2+5x3 x1+2x2-x3 2 x1+4x2+x34 x1+ x2 3 4x2+x36 x1, x2, x30或1 ,先找一个可行解。容易看出x(1, 0, 0)T就是一个满足约束条件的可行解，算出其目标值为z3。,19,增加一个约束条件 3x1-2x2+5x33 称为过滤条件。对每个解首先验证条件是否满足。,在计算过程中，若遇到可行解的z值已超过过滤条件的右端常数项，则用该z值对其更新。
12、,(0,0,0) ,(0,0,1) 5,5,(0,1,0) ,(0,1,1) ,(1,0,0) ,(1,0,1) 8,8,(1,1,0) ,(1,1,1) ,于是得最优解：x1*1, x2*0, x3*1, z*8,20,例 求解0-1型整数规划问题 Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 3x1+3x2+x3+2x4+3x54 5x1+3x2-2x3-x4+ x54 xj=0或1，j=1,2,5,变成标准型，要求如下：目标函数求极大化。 对于目标函数为Min z的极小化问题，令z=-z，使其变为目标函数为Max z的极大化问题。目标函数中所有变量的系数都为正数。如果目标函数中变量
13、xj的系数为负数，令xj=1-xj，把模型中的xj用xj代换。变量的排列顺序按变量在目标函数中的系数值从小到大排列。,求解0-1型整数规划，可使用效率更高的分枝定界法。下面用实例说明：,21,x2 =x3=x5= x4=x1=1, z=10,不可行,z=6,不可行,z=5,不可行,z=3,不可行,z=2,不可行,x2=0,x1=0,z=4, 可行,x3=0,x3=0,z=8,不可行,x5=0,x5=0,z=1,z=-2,x4=0,x4=0,最优解为x2=0，x3=0，x5=1，x4=1，x1=1。 于是，原问题的最优解为z*=4，x1*=1，x2*=0，x3*= 1-0=1，x4*=1-1=0，x5*=1-1=0,令 x3=1-x3, x4=1-x4, x5=1-x5，得 Max z=2x2+4x3+5x5+7x4+8x1-16 3x2- x3- 3x5- 2x4+3x1-2 3x2+2x3- x5+ x4+5x16 x2, x3,x5,x4,x1 =0或1,
