1、2011/03,-第4章 整数规划-,-1-,Integer Programming 整数规划All Integer Programming 全整数规划Mixed Programming 混合整数规划,第4章 整数规划,2011/03,-第4章 整数规划-,-2-,4.1 一般整数规划问题的特点及分枝定界法,一、引例,某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润及托运时所受的限制如下表所示，问如何托运能使总收益最大？,货物,体积(米3/箱),重量(吨/箱),利润(千元/箱),甲,乙,2 2 3,3 1 2,14米3 9 吨,托运限制,4.1一般整数规划问题的特点及分枝定界法,2
2、011/03,-第4章 整数规划-,-3-,建模：,解：设 托运甲货物x1箱，乙货物x2箱,Max z=3 x1 +2 x2 st . 2 x1+3 x214 2 x1 + x29 x10，x20，,且为整数,2011/03,-第4章 整数规划-,-4-,2,4,6,2,4,(3.25, 2.5),x1,x2,2x1+3x2=14,2x1+x2=9,3x1+2x2=6,2011/03,-第4章 整数规划-,-5-,2,4,6,2,4,(3.5, 2),x1,x2,2x1+3x2=14,2x1+x2=9,3x1+2x2=6,(2.5, 3),2011/03,-第4章 整数规划-,-6-,2,4,
3、6,2,4,(4, 1),x1,x2,2x1+3x2=14,2x1+x2=9,3x1+2x2=6,(2.5, 3),(3, 2),2011/03,-第4章 整数规划-,-7-,分枝定界法:,L0：z0=14.75,x1=3.25，x2=2.5,L1：z1=14.5,L2：z2=13.5,L3：z3=13,L4：z4=14,x1=3.5，x2=2,x1=2.5，x2=3,x1=3，x2=2,x1=4，x2=1,x22,x23,x13,x14,2011/03,-第4章 整数规划-,-8-,LINDO软件及EXCEL求解：,LINDO程序软件：模型输入同LP模型；但在 END 之后, 要对整数变量给
4、予说明。命令格式：GIN 。,EXCEL求解：,2011/03,-第4章 整数规划-,-9-,4.2 0-1规划问题及模型,一、0-1规划问题的概念,在整数规划问题中，若变量取值为0或者1，则为0-1规划问题。,0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。,2011/03,-第4章 整数规划-,-10-,二、0-1变量的应用,例1：某油田在10个有油气构造处要选择若干个钻探采油，设第j个构造开采时需投资aj元，投产后预计年收益为cj元，若该油田投资的总限额为b元，问：应选择哪几个油气构造处开采最为有利？,设 xj=,10,- 选择开采第j个构造 -不选择开采第j个构造,max z=cjxj,j=1
5、,10,ajxj b,xj0或1 (j=1,2,-,10),j=1,10,-年总收益,-投资额限制,1、表示选择性决策,2011/03,-第4章 整数规划-,-11-,2. 表示选择性约束,例2：上述例题中，如果在开采中需用电力，解决的方案或由电网供电或由自备的柴油机发电。已知第j个构造开采时每天耗电量为dj度，电网每天供电量限制为f 度。当使用自备柴油机发电时，每度电平均耗油0.3公斤，而柴油供应量限额为每天p公斤。试在模型中表示出该限制条件。,采用电网供电： djxj f,采用自备柴油机发电： 0.3djxj p,j=1,10,j=1,10,+(1y1)M,+(1y2)M,y1+y2=1,
6、y1, y2 =0或1,M-非常大的正数,2011/03,-第4章 整数规划-,-12-,3. 表示条件性约束,例3：若在开采时还需满足下述条件： （a）若开采8号，则必须同时开采6号； （b）若开采5号，则不许开采3号； （c） 2 号和4号至少开采一个； （d） 8 号与7号必须同时开采； （e）1号、4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上述约束条件。,2011/03,-第4章 整数规划-,-13-,（a）当x8=1,x6=1，x60,当x8=0,x6=1，x6=0,（b）当x5 =1,x3=0， x3 1,当x5 =0,x3=0， x3 =1,2011/03,-第4章 整数规划-,
7、-14-,4. 两组条件满足其中一组,若x1 4，则x21，否则(x14)，则x2 3。,设 yi=,1 0,第 i 组条件起作用,第 i 组条件不起作用,则,i=1,2,x1 4(1-y1) M x2 1(1-y1) M,M充分大正数,x1 4(1-y2) M x2 3(1-y2) M,y1y2=1 y1，y2=0或1,2011/03,-第4章 整数规划-,-15-,5. 分段函数线性表示,设有 f (xj)=,kj+cjxj 当xj0 0 当xj=0,将 f (xj) 表示成线性函数。,设 yj=,10,当xj0当xj=0,M非常大的正常数,则,F (xj) = kjyj+cjxj xjy
8、jM yjxjM xj0, yj=0或1,2011/03,-第4章 整数规划-,-16-,LINDO软件及EXCEL求解：,LINDO程序软件：模型输入同LP模型；但在 END 之后, 要对整数变量给予说明。命令格式：GIN 。,EXCEL求解：,2011/03,-第4章 整数规划-,-17-,4.3 分配问题 (Assignment Problem),例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译不同文字所需要的时间（小时）如表所示。规定每项工作只能交与其中的一个人完成，每个人只能完成其中的一项工作。 问：如何分配，能使所需的
9、总时间最少？,甲 乙 丙 丁,工作,人,译英文译日文译德文译俄文,2 10 9 715 4 14 813 14 16 114 15 13 9,2011/03,-第4章 整数规划-,-18-,建立模型：,设 xij=,1,0,译英文：,x11+ x12 + x13 + x14 =1,译日文：,x21+ x22 + x23 + x24 =1,译德文：,x31+ x32 + x33 + x34 =1,译俄文：,x41+ x42 + x43 + x44 =1,甲：,x11+ x21 + x31 + x41 =1,乙：,x12+ x22 + x32 + x42 =1,丙：,x13+ x23 + x33
10、+ x43 =1,丁：,x14+ x24 + x34 + x44 =1,xij =0或1 (i=1,2,3,4; j=1,2,3,4),Min z= aijxij(aij-效率),i=1j=1,4 4,若第i项工作交与第j个人完成,若第i项工作不交与第j个人完成,2011/03,-第4章 整数规划-,-19-, 分配问题一般数学模型结构：,设有m项工作要交与m个人完成，其中第i项工作交与第j个人完成时所需花费的时间为 aij。规定每项工作只能交与其中的一个人完成，而每个人只能完成其中的一项工作。问：如何分配，可使所需的总时间最少？,Min z= aijxij,st. xij =1,xij =1
11、,i=1j=1,j=1,i=1,m m,m,m,xij =0或1 (i=1,2,m; j=1,2,m),(i=1,2,m),(j=1,2,m),2011/03,-第4章 整数规划-,-20-,4.4 整数规划模型的应用,例1：在未来四个月中，某制鞋厂必须按时完成下述合同要求，第一个月300双，第二个月500双，第三个月100双，第四个月100双。在一月初，工厂已有50双鞋（以前的存货）和3名工人，每名工人的月薪为1500元，每月可工作160小时（正常工作时间）。一名工人最多还可有20小时的加班工作时间（规定），在加班工作时，每小时需付25元的加班费用。制作一双鞋需耗费4个工时和5元的原料费。在
12、每月的开始，可以租用和解雇工人。每雇用一名工人需支付1600元的费用，每解雇一名工人需支付2000元的解雇费用。在每月末，要为留在仓库里未交货的每双鞋支付30元的保管维护费用。一个月生产的产品可用于满足多个月的需求。试用ILP方法确定最佳的生产计划和用工政策。,2011/03,-第4章 整数规划-,-21-,问题分析：,需要解决的问题： 每月租进、解雇、使用的工人数 每月所需的加班时间 每月在正常时间、加班时间生产的鞋子的数量 每月开始和结束时库存鞋子的数量 费用明细：雇工费、解雇费、用工费、加班费、 原料费、存储费,2011/03,-第4章 整数规划-,-22-,月初 人数,本月雇用,本月解
13、雇,本月使用,用工过程图示：,生产过程图示：,正常生产,加班生产,月初库存,月末库存,交货数量,工人数,鞋子数,2011/03,-第4章 整数规划-,-23-,建模思路：,每月可用工人0,每月库存鞋子0,可用工人数=月初数+租进数- 解雇数=月末数,月末库存量=月初库存+正常生产+加班生产-交货量,目标函数=总费用 =月薪+雇用费+解雇费+加班费+原料费+库存费,生产工时消耗生产能力,2011/03,-第4章 整数规划-,-24-,例2：,游泳队的教练要从甲、乙、丙、丁、戊5名运动员中选出4名运动员组成一个4100混合泳接力队，已知个人的各种泳姿成绩如表示，问：应选择那些运动员，怎样安排？,2
14、011/03,-第4章 整数规划-,-25-,例3：,市政对四个建设项目招标，有三个建筑队投标，标底情况如表示。由于建筑队1力量所限，只能完成其中一个项目，而2和3最多都可承担两项。试确定，如何分配可使总费用最少？,项目,建筑队,1 2 3,1 2 3 4,50 46 42 40 51 48 44 47 45 45,单位：万元,2011/03,-第4章 整数规划-,-26-,例4：仓库位置问题,韩德公司有五个生产番茄酱的工厂，每个工厂的生产能力如表1所示。生产出来的番茄酱可储存在三个成品库中，从各工厂运送一吨产品到各成品库的费用如表2所示。由于某些因素，公司销售看淡，现只有四家客户，其需求量如
15、表3所示。从各成品库运送成品到各客户的需求地的单位费用如表4所示。每个工厂和每个成品库运营的年固定费用如表5所示。公司想确定关闭那些工厂和仓库，会使总费用最低。,表1 生产能力,工 厂 1 2 3 4 5,能力(吨) 300 200 300 200 400,表3 客户需求,客 户 1 2 3 4,需求(吨) 200 300 150 250,表2 工厂成品库运费表,工厂,仓库,成品库1 成品库2 成品库3,12345,800 1000 1200 700 500 700 800 600 500 500 600 700 700 600 500,(元/吨),2011/03,-第4章 整数规划-,-27
16、-,表4 成品库客户运输费用,（元/ 吨）,成品库,客户,成品库1 成品库2 成品库3,1 2 3 4,40 80 90 50 70 40 60 80 80 30 50 60,表5 年运营固定费用,（元）,工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 工厂5 成品库1 成品库2 成品库3,35000 45000 40000 42000 40000 40000 20000 60000,2011/03,-第4章 整数规划-,-28-,建模思路,xi0-1变量，第i厂是否开； yj0-1变量，第j库是否开。,0-1规划与运输问题的混合模型。,费用：工厂成品库运输费用+开工费；成品库客户运输费用+成品库运营费。,2
17、011/03,-第4章 整数规划-,-29-,例5：,校篮球队教练要确定比赛的首发阵容。全队共有7名球员，根据技术水平，对每名运动员的控球（ball-handing）、投篮（shooting）、蓝板（rebounding）、防守（defense）的能力都评出等级分，1分最低，3分最高。各球员的位置（position）及各项能力的等级分值如表示。五名出场队员应满足下述要求： （1）至少有3名队员能打后卫，至少有2名队员能打前锋，至少有1名队员能打中锋；（2）平均控球、投篮、蓝板能力在1.8分以上； （3）2号队员或3号队员必须在首发阵容中。 目标是首发阵容中防守能力最强。,1 2 3 4 5 6
18、 7,运动员,位置（P） 控球（B） 投篮（S） 蓝板（R） 防守（D）,Guard Center G/Forward F/C G/F F/C G/F,3 3 1 3 2 1 3 2 2 3 2 2 1 3 3 1 1 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 1,2011/03,-第4章 整数规划-,-30-,设 xj=,1 0,第j号队员入选,第j号队员没入选,Max z=djxj 防守能力总分,j=1,7,xj =5 上场队员数,j=1,7,bjxj 9 控球能力总分,sjxj 9 投篮能力总分,rjxj 9 蓝板能力总分,x1+ x3 + x5 + x7 3 后卫人数,x3 + x4+
19、x5 + x6 + x7 2 前锋人数,x2+ x4 + x6 1 中锋人数,j=1,j=1,j=1,7,7,7,xj=0或1 (j=1,7),St.,x2+ x3 1,2号、3号要求,2011/03,-第4章 整数规划-,-31-,案例研究：石城项目招标,石城建设局为新的市政大厅建设项目招标，标书把全部建设工作分成了5个部分分别列出：地基铺设（F），构架建设（S），管道和供暖设施建设（P），电器设施建设（E），室内装修（I）。 招标书上注明，可以对项目的某一部分或者几部分结合一起投标，多重投标也是允许的。 5家可信赖的建筑商甲、乙、丙、丁、戊已经提交了不同的投标报告，各自投标的情况如表示。 另外，戊在投标书中指出，如果他能得到申请中的四个项目或者全部的5项，那么他可以给予投标数额的10%的折扣。 设想你是项目招标负责人，现在的任务是确定招标项目最终的分配，使得总费用最小。 一个难处理的问题是，建筑商甲、乙在投标书上都说明，如果对方获得其中的任何一项标的，那么本方都会放弃投标而不接受任何一项合同。,2011/03,-第4章 整数规划-,-32-,2011/03,-第4章 整数规划-,-33-,
