1、第二章控制系统的数学模型 本章知识点 线性系统的输入 输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的 难以对它作出精确 全面的描述 必须进行简化或理想化 简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型 简化是有条件的 要根据问题的性质和求解的精确要求 来确定出合理的物理模型 物理模型的数学描述称为数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量 或变量 之间关系的数学表达式 在静态条件下 即变量各阶导数为0 描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模
2、型 而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型 数学建模 从实际系统中抽象出系统数学模型的过程 只有得到较为准确的数学建模 才能设计出性能良好的控制系统 建立物理系统数学模型的方法 机理分析法对系统各部分的运动机理进行分析 按照它们遵循的物理规律 化学规律列出各物理量之间的数学表达式 建立起系统的数学模型 实验辩识法对系统施加某种测试信号 如阶跃 脉冲 正弦等 记录基本输出响应 时间响应 频率响应 估算系统的传递函数 一 线性元件的微分方程 例1 R L C串联电路 输入为电压ur 输出为电容电压uc 试求输入输出微分方程 2 1线性系统的输入 输出时间函数描述 机理分析法建立系统数学
3、模型的步骤 确定系统的输入量 输出量 通过分析研究 提出一些合乎实际的简化系统的假设 根据物理定律列写原始方程 消去中间变量 写出表示系统输入 输出关系的线性常微分方程 标准化 输出左 输入右 阶次由高到低 常数按习惯写 例2 如图所示质量 弹簧 阻尼系统 其中f 粘性系数 m 质量 k 弹簧刚度 F 输入力 y 输出位移 例3 如图所示机械旋转系统 转动惯量为J的圆柱体 在转矩T的作用下产生角位移 求该系统的微分方程 相似系统 把数学模型相同的各种物理系统称为相似系统 在相似系统中作用相同的变量称为相似变量 P31 根据相似系统的概念 一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中去 利用相似
4、系统的特点 可以进行模拟研究 即用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统 例4 图中所示为电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压Ua V 为输入量 电动机转速 m t rad s 为输出量 列写微分方程 图中Ra La H 分别是电枢电路的电阻和电感 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转矩 激磁磁通为常值 由于电枢电路电感La较小 通常忽略不计 电动机机电时间常数 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为 电动机的转速 m t 与电枢电压Ua t 成正比 于是电动机可作为测速发电机使用 二 描述线性定常系统输入 输出关系的微分方程一般形式 1
5、 线性定常系统一般表达式 n阶线性微分方程 c t 系统输出量r t 系统输入量ai bj是与系统结构和参数有关的常数项 2 叠加性和奇次性 线性系统 叠加性奇次性 三 实验法建立模型基本原理 1 零初始状态 t 0时 系统的响应及其各阶导数均为零 2 辨识任务 设系统是线性定常系统 在零初始状态下 有 辨识的任务就是确定算子H t H t 由系统的特性决定 3 给定的输入信号为单位脉冲函数 延迟单位脉冲函数 在t 处的单位脉冲函数以 t 4 单位脉冲响应 以 t 作为零初始条件的线性定常系统的输入 得到的输出称为系统的单位脉冲响应 也称为权函数 g t 5 输入函数为任一分段连续函数时 是外施输入作用到系统的时刻 t是观测系统响应的时刻 线性定常系统输入 输出描述的两种形式是完全等效的 又由于都是以时间函数来描述的 故又称为时间域描述 简称时域描述
