1、1第 2 节 极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：1. 数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 ；再作内接正十二边形，其面1A积记为 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 ；循此下去，每次边数加倍，一般地2A3把内接正 边形的面积记为 。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：16nNnA
2、， n321它们构成一列有次序的数。当 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 作为n nA圆面积的近似值也越精确。但是无论 取得如何大，只要 取定了， 终究只是多边形n的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为 ，读作 趋于无穷大） ，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值nA在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列） 当 时的， nAA321极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的
3、一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数 ，第二个数 ，这样依次1x2x序排列着，使得对应着任何一个正整数 有一个确定的数 ，那么，这列有次序的数nn2就叫做数列。 ， nxx321数列中的每一个数叫做数列的项，第 项 叫做数列的一般项。例如：nx ， ；， ；， ；， ；， nnn13421824131都是数列的例子，它们的一般项依次为。nnn111，以后，数列 ， nxx321也简记为数列 。nx如果数列 ，当 无限增大时，数列 的取值能无限接近常数 ，我们就称 是nxll当 时的极限，记作nx，lxnlim它的解析定义是：如果数列 与常数 有下列关系：对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在nxa正整数 ，使得对于 时的一切 ，不等式NNnxa都成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为anxnxa，nlim3或 。naxn如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然 。， 1lim0n收敛数列有下述 3 个性质性质 1（极限的唯一性） 数列 不能收敛于两个不同的极限。nx性质 2（收敛数列的有界性） 如果数列 收敛，那么数列 一定有界。nnx性质 3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列 收敛于 ，那么它的任一子na数列也收敛，且极限也是 。a
