1、第 1 页（共 119 页）1在平面直角坐标系 xOy 中，对于线段 MN 的“三等分变换 ”，给出如下定义：如图 1，点 P，Q 为线段 MN 的三等分点，即 MP=PQ=QN，将线段 PM 以点 P 为旋转中心顺时针旋转 90得到 PM，将线段 QN 以点 Q 为旋转中心顺时针旋转90得到 QN，则称线段 MN 进行了三等分变换，其中 M，N记为点 M，N 三等分变换后的对应点例如：如图 2，线段 MN，点 M 的坐标为（1 ，5） ，点 N 的坐标为（1，2） ，则点 P 的坐标为（1，4） ，点 Q 的坐标为（1，3） ，那么线段 MN 三等分变换后，可得：M的坐标为（ 2，4 ） ，
2、点 N的坐标为（0，3 ） （1）若点 P 的坐标为（2 ，0） ，点 Q 的坐标为（4 ，0） ，直接写出点 M与点 N的坐标；（2）若点 Q 的坐标是（0， ） ，点 P 在 x 轴正半轴上，点 N在第二象限当线段 PQ 的长度为符合条件的最小整数时，求 OP 的长；（3）若点 Q 的坐标为（0，0） ，点 M的坐标为（3，3） ，直接写出点 P 与点 N的坐标；（4）点 P 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个定点，点 P 的坐标为（， ）当点 N在圆 O 内部或圆上时，求线段 PQ 的取值范围及 PQ 取最大值时点 M的坐标2在平面直角坐标系中，点 Q 为坐标系上任意一点，某图
3、形上的所有点在Q的内部（含角的边） ，这时我们把Q 的最小角叫做该图形的视角如图 1，矩形 ABCD，作射线 OA，OB，则称AOB 为矩形 ABCD 的视角第 2 页（共 119 页）（1）如图 1，矩形 ABCD，A（ ，1） ，B（ ，1） ，C（ ，3） ，D（ ，3） ，直接写出视角AOB 的度数；（2）在（1）的条件下，在射线 CB 上有一点 Q，使得矩形 ABCD 的视角AQB=60，求点 Q 的坐标；（3）如图 2，P 的半径为 1，点 P（1， ） ，点 Q 在 x 轴上，且P 的视角EQF 的度数大于 60，若 Q（a ，0） ，求 a 的取值范围3在平面直角坐标系 xOy
4、 中，点 P 与点 Q 不重合，以点 P 为圆心作经过 Q 的圆，则称该圆为点 P、Q 的“ 相关圆”（1）已知点 P 的坐标为（2，0）若点 Q 的坐标为（ 0，1） ，求点 P、Q 的“相关圆 ”的面积；若点 Q 的坐标为（ 3，n） ，且点 P、Q 的“ 相关圆”的半径为 ，求 n 的值；（2）已知ABC 为等边三角形，点 A 和点 B 的坐标分别为（ ，0） 、（ ，0） ，点 C 在 y 轴正半轴上，若点 P、Q 的“相关圆”恰好是ABC 的内切圆且点 Q 在直线 y=2x 上，求点 Q 的坐标（3）已知ABC 三个顶点的坐标为： A（ 3，0） 、 B（ ，0） ，C（0，4） ，
5、点 P的坐标为（0， ） ，点 Q 的坐标为（m， ） ，若点 P、Q 的“相关圆”与ABC 的三边中至少一边存在公共点，直接写出 m 的取值范围第 3 页（共 119 页）4在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，对于ABC 的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x 1x2|，|x 2x3|，|x 3x1|中的最大值，称为ABC 的横长，记作 Dx；将|y1y2|，|y 2y3|，|y 3y1|中的最大值，称为 ABC 的纵长，记作 Dy；将 叫做ABC 的纵横比，记作 = 例如：如图 1，ABC 的三个
6、顶点的坐标分别是 A（0，3） ，B （2，1） ，C（ 1，2） ，则 Dx=|2（1）|=3，D y=|3（ 2）|=5，所以 = = （1）如图 2，点 A（1，0） ，第 4 页（共 119 页）点 B（2，1） ，E（1 ，2） ，则AOB 的纵横比 1= AOE 的纵横比 2= ；点 F 在第四象限，若AOF 的纵横比为 1，写出一个符合条件的点 F 的坐标；点 M 是双曲线 y= 上一个动点，若AOM 的纵横比为 1，求点 M 的坐标；（2）如图 3，点 A（1，0） ，P 以 P（0， ）为圆心，1 为半径，点 N 是P上一个动点，直接写出AON 的纵横比 的取值范围5在平面直
7、角坐标系 xOy 中，给出如下定义：对于C 及 C 外一点 P，M ，N 是C 上两点，当MPN 最大时，称MPN 为点 P 关于 C 的“视角” （1）如图，O 的半径为 1，已知点 A（0，2） ，画出点 A 关于O 的“ 视角”；若点 P 在直线 x=2 上，则点 P 关于O 的最大“视角”的度数 ；在第一象限内有一点 B（m ，m） ，点 B 关于O 的“视角” 为 60，求点 B 的坐标（2）若点 P 在直线 y= x+2 上，且点 P 关于O 的“视角”大于 60，求点 P 的横坐标 xP 的取值范围（3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，点 E 的坐标为（ 0，1） ，点 F
8、的坐标为（0，1） ，若线段 EF 上所有的点关于C 的“视角”都小于 120，直接写出点 C第 5 页（共 119 页）的横坐标 xC 的取值范围6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点 A（2，3） ，点B（6 ，3） ，连接 AB如果线段 AB 上有一个点与点 P 的距离不大于 1，那么称点 P 是线段 AB 的“ 环绕点 ”（1）已知点 C（3 ，1.5） ，D（4，3.5） ，E （1，3） ，则是线段 AB 的“环绕点”的点是 ；（2）已知点 P（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，且点 P 是线段 AB 的“环绕点”，求出点 P 的横坐标 m 的取值范围；（3）已知M
9、上有一点 P 是线段 AB 的“ 环绕点”，且点 M（4，1） ，求M 的半径 r 的取值范围7 （1 ）在图，中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A、B 、D 的坐标（如图） ，写出图，中的顶点 C 的坐标，它们分别是 ， ， ；（可用含 a，b，c，d，e，f 的代数式表示）（2）在图中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A、 B、D 的坐标（如图） ，求出顶点 C 的坐标（ C 点坐标用含 a，b，c，d，e ，f 的代数式表示） ；归纳与发现（3）通过对图的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A（a，b） 、B（
10、c，d） 、C（ m，n） 、D （e，f） （如图）时，则四个顶点的横坐标 a，c，m，e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b，d ，n，f 之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广第 6 页（共 119 页）（4）在同一直角坐标系中有抛物线 y=x2（5c 3）xc 和三个点 G（ c， c） ，S（ c， c） ，H（2c，0） （其中 c0） 问当 c 为何值时，该双曲线上存在点P，使得以 G，S，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0） ，（7，0） （1）对于坐标平面内的一点 P
11、，给出如下定义：如果APB=45 ，则称点 P 为线段 AB 的“等角点 ”显然，线段 AB 的“ 等角点”有无数个，且 A、B、P 三点共圆设 A、B、P 三点所在圆的圆心为 C，直接写出点 C 的坐标和C 的半径；y 轴正半轴上是否有线段 AB 的“等角点” ？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点 P 在 y 轴正半轴上运动时，APB 是否有最大值？如果有，说明此时APB 最大的理由，并求出点 P 的坐标；如果没有请说明理由第 7 页（共 119 页）9我们规定：平面内点 A 到图形 G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离 d，点 A 到图形 G
12、上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离 D，定义点 A 到图形 G 的距离跨度为 R=Dd（1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 G1 为以 O 为圆心，2 为半径的圆，直接写出以下各点到图形 G1 的距离跨度：A（1 ，0 ）的距离跨度 ；B（ ， ）的距离跨度 ；C（ 3，2）的距离跨度 ；根据中的结果，猜想到图形 G1 的距离跨度为 2 的所有的点组成的图形的形状是 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，图形 G2 为以 D（1，0）为圆心，2 为半径的圆，直线 y=k（x1 ）上存在到 G2 的距离跨度为 2 的点，求 k 的取值范围第 8 页（共 11
13、9 页）（3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，射线 OP：y= x（x0） ，E 是以3 为半径的圆，且圆心 E 在 x 轴上运动，若射线 OP 上存在点到E 的距离跨度为 2，直接写出圆心 E 的横坐标 xE 的取值范围 10在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 的“ 矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值， “铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积 ”S=ah例如：三点坐标分别为 A（1，2） ，B （3，1） ，C （ 2，2） ，则“水平底”a=5， “铅垂高”h=4 ， “矩面积”S=ah=20（1）已知点 A（1，2） ，
14、B （3，1） ，P（0，t ） 若 A，B，P 三点的“矩面积”为 12，求点 P 的坐标；直接写出 A，B，P 三点的“矩面积”的最小值（2）已知点 E（4，0） ， F（0，2） ，M（m，4m） ，N（n， ） ，其中m0，n0若 E，F，M 三点的“ 矩面积 ”为 8，求 m 的取值范围；直接写出 E，F，N 三点的“矩面积”的最小值及对应 n 的取值范围11在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y ） ，如果点 Q（x，y）的纵坐标满足 y= ，那么称点 Q 为点 P 的“关联点”（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点 P 在函数 y=x2 的图象上
15、，其“ 关联点”Q 与点 P 重合，求点 P 的坐标；（3）如果点 M（m，n）的“关联点”N 在函数 y=2x2 的图象上，当 0m 2 时，求线段 MN 的最大值第 9 页（共 119 页）12在平面直角坐标系 xOy 中，对于双曲线 y= （m0）和双曲线y= （n0 ） ，如果 m=2n，则称双曲线 y= （m 0）和双曲线 y= （n0）为“倍半双曲线 ”，双曲线 y= （m0）是双曲线 y= （n0）的“倍双曲线”，双曲线 y= （n0）是双曲线 y= （m0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线 y= 的“倍双曲线”是 ；双曲线 y= 的“半双曲线”是 ；（2）如图 1，在平面直
16、角坐标系 xOy 中，已知点 A 是双曲线 y= 在第一象限内任意一点，过点 A 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线” 于点 B，求AOB 的面积；（3）如图 2，已知点 M 是双曲线 y= （k0）在第一象限内任意一点，过点M 与 y 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 N，过点 M 与 x 轴平行的直线交双曲线 y= 的“半双曲线”于点 P，若MNP 的面积记为 SMNP ，且1S MNP 2，求 k 的取值范围13在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C ，给出如下定义：第 10 页（共 119 页）如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，
17、B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A，B ，C 的覆盖矩形点 A，B，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B ，C 的最优覆盖矩形例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A 2B2C2D2，AB 3C3D3 都是点 A，B，C 的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3 是点 A，B，C 的最优覆盖矩形（1）已知 A（2，3） ，B （5，0） ，C（t， 2） 当 t=2 时，点 A，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；若点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC 的表达式；（2）已知点 D（1，1） E （m，n）是函数 y= （x 0）的图象上一点，P
18、 是点 O，D，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出P 的半径 r 的取值范围14在平面直角坐标系 xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点 P（ x，m ）是图形 G1 上的任意一点，点 Q（x，n ）是图形 G2 上的任意一点，若存在直线 l：kx+b（k0）满足 mkx+b 且 nkx +b，则称直线l：y=kx +b（k0）是图形 G1 与 G2 的“隔离直线” 如图 1，直线 l：y= x4 是函数 y= （x0）的图象与正方形 OABC 的一条“隔离直线”（1）在直线 y1=2x，y 2=3x+1，y 3=x+3 中，是图 1 函数 y= （x0）的图象与正方形 OAB
19、C 的 “隔离直线”的为 ；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线” 的表达式： ；（2）如图 2，第一象限的等腰直角三角形 EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D 的坐标是（ ，1） ，O 的半径为 2是否存在EDF 与O 的“隔离直第 11 页（共 119 页）线”？若存在，求出此 “隔离直线 ”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形 A1B1C1D1 的一边在 y 轴上，其它三边都在 y 轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心若存在直线 y=2x+b 是函数 y=x22x3（0x 4 ）的图象与正方形 A1B1C1D1 的“ 隔离直线”，请直接写出 t 的取值范围15设平
20、面内一点到等边三角形中心的距离为 d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为 R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足 rdR的点叫做等边三角形的中心关联点在平面直角坐标系 xOy 中，等边ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（0，2） ，B（ ，1 ） ， C（ ，1） （1）已知点 D（2，2） ，E （ ，1） ，F （ ， 1） 在 D，E，F 中，是等边ABC 的中心关联点的是 ；（2）如图 1，过点 A 作直线交 x 轴正半轴于 M，使AMO=30若线段 AM 上存在等边ABC 的中心关联点 P（m，n） ，求 m 的取值范围；将直线 AM 向下平移得到直线 y=kx+b，当
21、b 满足什么条件时，直线 y=kx+b 上总存在等边ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图 2，点 Q 为直线 y=1 上一动点，Q 的半径为 当 Q 从点（4 ，1 ）出发，以每秒 1 个单位的速度向右移动，运动时间为 t 秒是否存在某一时刻 t，使得 Q 上所有点都是等边ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的 t 的值；如果不存在，请说明理由第 12 页（共 119 页）16在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P 和点 P1 关于 y 轴对称，点 P1 和点 P2 关于直线 l 对称，则称点 P2 是点 P 关于 y 轴，直线 l 的二次对称点（1）如
22、图 1，点 A（1，0） 若点 B 是点 A 关于 y 轴，直线 l1：x=2 的二次对称点，则点 B 的坐标为 ；若点 C（5 ，0 ）是点 A 关于 y 轴，直线 l2：x=a 的二次对称点，则 a 的值为 ；若点 D（2，1）是点 A 关于 y 轴，直线 l3 的二次对称点，则直线 l3 的表达式为 ；（2）如图 2，O 的半径为 1若O 上存在点 M，使得点 M是点 M 关于 y 轴，直线 l4：x=b 的二次对称点，且点 M在射线 y= x（x0）上，b 的取值范围是 ；（3）E（t ，0）是 x 轴上的动点， E 的半径为 2，若E 上存在点 N，使得点N是点 N 关于 y 轴，直
23、线 l5：y= x+1 的二次对称点，且点 N在 y 轴上，求 t 的取值范围第 13 页（共 119 页）17在平面直角坐标系 xOy 中，若 P，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与 x 轴，y 轴平行，则称该菱形为点 P，Q 的“相关菱形”图 1 为点 P，Q 的“ 相关菱形”的一个示意图已知点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 的坐标为（b，0） ，（1）若 b=3，则 R（1，0 ） ，S （5，4） ，T （6，4）中能够成为点 A，B 的“相关菱形”顶点的是 ；（2）若点 A，B 的“相关菱形”为正方形，求 b 的值；（3）B 的半径为 ，点 C 的坐标为（2
24、，4） 若 B 上存在点 M，在线段 AC上存在点 N，使点 M，N 的“相关菱形” 为正方形，请直接写出 b 的取值范围18给出如下规定：两个图形 G1 和 G2，点 P 为 G1 上任一点，点 Q 为 G2 上任一点，如果线段 PQ 的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形 G1 和 G2 之间的“近距离”；如果线段 PQ 的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形 G1和 G2 之间的“ 远距离” 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（ 4，3 ） ，B （4，3） ，C（4， 3） ，D（4，3） 第 14 页（共 119 页）（1）请
25、在平面直角坐标系中画出四边形 ABCD，直接写出线段 AB 和线段 CD 的“近距离”和“远距离”（2）设直线 y= （b0）与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F，若线段 EF 与四边形 ABCD 的“近距离 ”是 1，求它们的“远距离”；（3）在平面直角坐标系 xOy 中，有一个矩形 GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以 O 为圆心，2 为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内将四边形 ABCD绕着点 O 旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形 GHMN 的“ 远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 19对于P 及一个矩形给出如下定义：如果P 上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称P 是
26、该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（ ，2 ） ，顶点 C、D 在 x 轴上，且OC=OD（1）当P 的半径为 4 时，在 P1（0 ，3） ，P 2（2 ，3） ，P 3（2 ，1）中可以成为矩形 ABCD 的“等距圆”的圆心的是 ；如果点 P 在直线 上，且P 是矩形 ABCD 的“等距圆”，求点 P 的坐标；（2）已知点 P 在 y 上，且P 是矩形 ABCD 的“等距圆”，如果P 与直线 AD 没有公共点，直接写出点 P 的纵坐标 m 的取值范围第 15 页（共 119 页）20在平面直角坐标系 xOy 中，图形 W 在坐标轴上的投
27、影长度定义如下：设点P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）是图形 W 上的任意两点若|x 1x2|的最大值为 m，则图形 W 在 x 轴上的投影长度 lx=M；若|y 1y2|的最大值为 n，则图形 W 在 y 轴上的投影长度 ly=n如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度 lx=|31|=2；在 y 轴上的投影长度 ly=|40|=4（1）已知点 A（3，3） ，B （4，1） 如图 2 所示，若图形 W 为OAB ，则 lx ，l y （2）已知点 C（4 ，0） ，点 D 在直线 y=2x+6 上，若图形 W 为OCD 当 lx=ly时，求点 D 的坐标（3）若图形 W 为函数
28、 y=x2（axb）的图象，其中 0ab 当该图形满足lx=ly1 时，请直接写出 a 的取值范围21对于关于 x 的一次函数 y=kx+b（k0） ，我们称函数 ym= 为它的 m 分函数（其中 m 为常数） 例如，y=3x+2 的 4 分函数为：当 x4 时，y 4=3x+2；当 x4 时，y 4=3x2（1）如果 y=x+1 的 2 分函数为 y2，当 x=4 时，y 2= ；当 y2=3 时，x= 第 16 页（共 119 页）（2）如果 y=x+1 的1 分函数为 y1，求双曲线 y= 与 y1的图象的交点坐标；（3）从下面两问中任选一问作答：设 y=x+2 的 m 分函数为 ym，
29、如果抛物线 y=x2 与 ym的图象有且只有一个公共点，直接写出 m 的取值范围如果点 A（0，t）到 y=x+2 的 0 分函数 y0的图象的距离小于 1，直接写出 t的取值范围22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1） ，B（0， 1） 点 P 是平面内任意一点，直线 PA，PB 与直线 x=4 分别交于 M，N 两点若以 MN 为直径的圆恰好经过点 C（2， 0） ，则称此时的点 P 为理想点（1）请判断 P1（4，0） ， P2（3，0）是否为理想点；（2）若直线 x=3 上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线 x=m（m 0）上存在理想点，直接写出 m 的取
30、值范围23在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b 时，Q 点坐标为（b ，a） ；当 ab 时，Q 点坐标为（ a，b） （1）求（2，3） ， （6，1）的变换点坐标；（2）已知直线 l 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） 若直线 l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形 W，请画出图形 W，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线 y= x2+c 与图形 W 有三个交点，请直接写出 c 的取值范围24对于两个已知图形 G1，G 2，在 G1 上任取一点 P，在 G2 上任取一点 Q，当第 17 页（共 119
31、 页）线段 PQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为 G1，G 2 的“密距”，用字母 d 表示；当线段 PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形 G1，G 2 的“疏距”，用字母 f 表示例如，当 M（1，2） ，N（2，2）时，点 O 与线段 MN 的“密距”为 ，点 O 与线段 MN 的 “疏距”为 2 （1）已知，在平面直角坐标系 xOy 中，A（ 2，0 ） ，B （0，4） ，C（2，0） ，D（0，1） ，点 O 与线段 AB 的“密距”为 ， “疏距”为 ；线段 AB 与COD 的“ 密距” 为 ， “疏距”为 ；（2）直线 y=2x+b 与 x 轴，y 轴分别交于点 E
32、，F，以 C（0，1 ）为圆心，1 为半径作圆，当C 与线段 EF 的“ 密距”0 d 1 时，求 C 与线段 EF 的“ 疏距”f 的取值范围25在平面直角坐标系 xoy 中，C 的半径为 r，点 P 是与圆心 C 不重合的点，给出如下定义：如果点 P为射线 CP 上一点，满足 CPCP=r2，那么称点 P为点P 关于C 的反演点，图 1 为点 P 及其关于C 的反演点 P的示意图（1）如图 2，当O 的半径为 1 时，分别求出点 M（1，0） ，N（0，2） ，T（ ， ）关于O 的反演点 M，N ，T的坐标；（2）如图 3：已知点 A（1，4） ，B （3，0） ，以 AB 为直径的G
33、的与 y 轴交于点 C， D（点 C 位于点 D 下方） ，E 为 CD 的中点，如果点 O，E 关于G 的反演点分别为 O，E ，求EOG 的大小第 18 页（共 119 页）26设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说 y 是 x 的函数，记作 y=f（x） 在函数 y=f（x）中，当自变量 x=a 时，相应的函数值 y 可以表示为 f（a ） 例如：函数 f（x）=x 22x3，当 x=4 时，f（4）=4 2243=5 在平面直角坐标系xOy 中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数 y=f（x）在 axb 的范围内对应
34、的图象是一条连续不断的曲线，并且 f（a） f（b）0，那么函数 y=f（x ）在 ax b 的范围内有零点，即存在c（a cb） ，使 f（c）=0，则 c 叫做这个函数的零点，c 也是方程 f（x）=0 在a xb 范围内的根例如：二次函数 f（x）=x 22x3 的图象如图 1 所示观察可知：f（2）0 ，f（1）0，则 f（2） f（1）0所以函数 f（x ）=x22x3 在2 x1 范围内有零点由于 f（1）=0，所以，1 是 f（x）=x 22x3的零点，1 也是方程 x22x3=0 的根（1）观察函数 y1=f（x）的图象 2，回答下列问题：f（ a）f（ b） 0 （“”“”或
35、“=”） 在 axb 范围内 y1=f（x ）的零点的个数是 （2）已知函数 y2=f（x）= 的零点为 x1，x 2，且x1 1x 2求零点为 x1，x 2（用 a 表示） ；在平面直角坐标 xOy 中，在 x 轴上 A，B 两点表示的数是零点 x1，x 2，点 P为线段 AB 上的一个动点（ P 点与 A、B 两点不重合） ，在 x 轴上方作等边APM第 19 页（共 119 页）和等边BPN，记线段 MN 的中点为 Q，若 a 是整数，求抛物线 y2 的表达式并直接写出线段 PQ 长的取值范围27定义：y 是一个关于 x 的函数，若对于每个实数 x，函数 y 的值为三数x+2，2x+1，
36、5x+20 中的最小值，则函数 y 叫做这三数的最小值函数（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点 A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为 B，点 A（1，3） ，动点 M（m，m）直接写出ABM 的面积，其面积是 ；若以 M 为圆心的圆经过 A，B 两点，写出点 M 的坐标；以中的点 M 为圆心，以 为半径作圆，在此圆上找一点 P，使 PA+ PB的值最小，直接写出此最小值28在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C 给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点
37、 A，B ，C 的外延正方形，在点 A，B，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点 A，B ，C 的最佳外延正方形例如，图1 中的正方形 A1B1C1D1，A 2B2C2D2，A 3B3CD3 都是点 A，B，C 的外延正方形，正方形 A3B3CD3 是点 A，B，C 的最佳外延正方形（1）如图 1，点 A（1，0） ，B（2，4） ，C（0，t） （t 为整数） 如果 t=3，则点 A，B ，C 的最佳外延正方形的面积是 ；如果点 A，B，C 的最佳外延正方形的面积是 25，且使点 C 在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的 t 值 ；（2）如图 3，已知点 M（ 3，0）
38、，N（0，4） ，P（ x，y ）是抛物线 y=x22x3 上一第 20 页（共 119 页）点，求点 M， N，P 的最佳外延正方形的面积的最小值以及点 P 的横坐标 x 的取值范围；（3）如图 4，已知点 E（ m，n ）在函数 y= （x 0）的图象上，且点 D 的坐标为（1，1） ，设点 O，D ，E 的最佳外延正方形的边长为 a，请直接写出 a 的取值范围29对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于 p，则称 p 为这个函数的不变值在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，
39、其不变长度 q 为零例如，下图中的函数有 0，1 两个不变值，其不变长度 q 等于 1（1）分别判断函数 y=x1，y= ，y=x 2 有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数 y=2x2bx若其不变长度为零，求 b 的值；若 1b3，求其不变长度 q 的取值范围；（3）记函数 y=x22x（x m）的图象为 G1，将 G1 沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 G2函数 G 的图象由 G1 和 G2 两部分组成，若其不变长度 q 满足0q 3，则 m 的取值范围为第 21 页（共 119 页）30如图，点 P（x，y 1）与 Q（x ，y 2）分别是两个函数图象 C1 与 C2
40、上的任一点当 axb 时，有1 y1y21 成立，则称这两个函数在 axb 上是“ 相邻函数”，否则称它们在 axb 上是“ 非相邻函数”例如，点 P（x ，y 1）与 Q （x，y 2）分别是两个函数 y=3x+1 与 y=2x1 图象上的任一点，当3 x 1 时，y1y2=（3x+1） （2x1）=x+2，通过构造函数 y=x+2 并研究它在3x1 上的性质，得到该函数值的范围是1y1，所以1y 1y21 成立，因此这两个函数在3 x1 上是“ 相邻函数”（1）判断函数 y=3x+2 与 y=2x+1 在 2x 0 上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数 y=x2x 与 y=xa
41、在 0x2 上是“相邻函数”，求 a 的取值范围；（3）若函数 y= 与 y=2x+4 在 1x2 上是“相邻函数”，直接写出 a 的最大值与最小值31P 是O 内一点，过点 P 作O 的任意一条弦 AB，我们把 PAPB 的值称为点 P 关于 O 的“ 幂值” （1）O 的半径为 5，OP=3如图 1，若点 P 恰为弦 AB 的中点，则点 P 关于O 的“幂值”为 ；判断当弦 AB 的位置改变时，点 P 关于O 的“幂值” 是否为定值，若是定值，第 22 页（共 119 页）证明你的结论；若不是定值，求点 P 关于O 的“幂值”的取值范围（2）若O 的半径为 r，OP=d，请参考（1）的思路
42、，用含 r、d 的式子表示点P 关于O 的“ 幂值” 或“幂值”的取值范围 ；（3）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 4，若在直线 y= x+b 上存在点P，使得点 P 关于O 的“幂值”为 13，请写出 b 的取值范围 32在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x ， y） ，以及两个无公共点的图形W1 和 W2，若在图形 W1 和 W2 上分别存在点 M （ x1，y 1 ）和 N （x 2，y 2 ） ，使得 P 是线段 MN 的中点，则称点 M 和 N 被点 P“关联”，并称点 P 为图形 W1和 W2 的一个“中位点” ，此时 P，M，N 三个点的坐标满足 x= ，y=
43、（1）已知点 A（0，1） ，B （4，1） ，C（3，1） ，D（3，2） ，连接 AB，CD对于线段 AB 和线段 CD，若点 A 和 C 被点 P“关联”，则点 P 的坐标为 ；线段 AB 和线段 CD 的一“中位点” 是 Q （2， ） ，求这两条线段上被点 Q“关联”的两个点的坐标；（2）如图 1，已知点 R（ 2，0）和抛物线 W1：y=x 22x，对于抛物线 W1 上的每一个点 M，在抛物线 W2 上都存在点 N，使得点 N 和 M 被点 R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线 W2；（3）正方形 EFGH 的顶点分别是 E（ 4，1） ，F （ 4，1） ，G（2， 1）
44、 ，H（ 2，1） ，T 的圆心为 T（3，0） ，半径为 1请在图 2 中画出由正方形 EFGH第 23 页（共 119 页）和T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ，并直接写出该图形的面积33在平面直角坐标系 xOy 中，C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点P 关于C 的限距点的定义如下：若 P为直线 PC 与C 的一个交点，满足rPP 2r，则称 P为点 P 关于C 的限距点，如图为点 P 及其关于C 的限距点 P的示意图（1）当O 的半径为 1 时分别判断点 M（3，4） ， N（ ，0） ，T（1， ）关于O 的限距点是否存在？若存在，
45、求其坐标；点 D 的坐标为（ 2，0） ，DE，DF 分别切O 于点 E，点 F，点 P 在DEF 的边上若点 P 关于 O 的限距点 P存在，求点 P的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中 D，E，F 三点不变，点 P 在DEF 的边上沿 EFDE 的方向运动，C 的圆心 C 的坐标为（ 1，0） ，半径为 r，请从下面两个问题中任选一个作答问题 1 问题 2 若点 P 关于C 的限距点 P存在，且 P随点 P的运动所形成的路径长为 r，则 r 的最小值为若点 P 关于C 的限距点 P不存在，则 r 的取值范围为第 24 页（共 119 页）34阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，
46、在ABC（其中BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋转中心将ABP 逆时针旋转 60得到ABC，连接 AA，当点 A 落在AC 上时，此题可解（如图 2） （1）请你回答：AP 的最大值是 （2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC 边 AB=4，P 为ABC 内部一点，请写出求 AP+BP+CP 的最小值长的解题思路提示：要解决 AP+BP+CP 的最小值问题，可仿照题目给出的做法把 ABP 绕B 点逆时针
47、旋转 60，得到 ABP 请画出旋转后的图形请写出求 AP+BP+CP 的最小值的解题思路（结果可以不化简） 35对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和C ，给出如下定义：若存在过点 P的直线 l 交C 于异于点 P 的 A，B 两点，在 P，A，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点 P 为C 的相邻点，直线 l 为C第 25 页（共 119 页）关于点 P 的相邻线（1）当O 的半径为 1 时，分别判断在点 D（ ， ） ，E （0， ） ，F （4， 0）中，是O 的相邻点有 ；请从中的答案中，任选一个相邻点，在图 1 中做出O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；点 P 在直线 y=x+3 上，若点 P 为O 的相邻点，求点 P 横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=
