1、1分类讨论、典型例题剖析一、根据某些数学概念的定义进行分类在初中阶段的教学内容中,一些数学概念的定义,如有理数的建立,绝对值的化简,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式,两圆的五种位置关系等等,都渗透着分类讨论的数学思想,对涉及到分类讨论思想的概念1已知 a 是有理数,那么 |a| 与 a 的关系是( )A |a |a B |a|a C|a| a D|a| a2若 nm,且 4, 3,则( mn) 2 |m n| |m| |n|3已知两圆内切,一个圆的半径是 3,圆心距是 2,那么另一个圆的半径是_4已知O 1 和O 2 相切于点 P,半径分别为 1cm 和 3cm则O 1 和
2、O 2 的圆心距为_5某校三个绿化小组一天植树的棵数为 10,x,8,已知这组数据只有一个众数且众数等于中位数,那么这组数据的平均数是_二、根据字母的不同取值进行分类对于具体问题,如函数、方程、不等式中的解、求代数式的值等,它们随着题中所给字母的不同取值而变化,这时要对字母的取值进行讨论1当 m=_时,函数 y=(m +5)x 2m1 +7x3(x 0)是一个一次函数2已知关于 x 的函数 yax 2+x+1=0(a 为常数) ,若函数图像与 x 轴恰好有一个交点,求 a 的值3一次函数 y=kx+b,当3xl 时,对应的 y 值为 ly9, 则 kb 值为( )A14 B6 C4 或 21
3、D.6 或 14三、根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类若关于 x 的分式方程 1 无解,则 a_.x ax 1 3x四、当条件或结论不唯一时进行分类讨论1已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,若这个角是 30,那么另一个角是_.类似:已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,若这个角是 30,那么另一个角是_.与等腰三角形相关:1若等腰三角形的一个内角为 50则其他两个内角为_.22等腰三角形的一边长为 3cm,周长是 13cm,那么这个等腰三角形的腰长是_.3已知:等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角为_.变式 1:等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹
4、角是 45,则顶角为_.变式 2:在ABC 中,AB AC ,AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50,则底角为_.变式 3:等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为 9 和 12 两部分,试求等腰三角形的边长.4某小区有一块等腰三角形的草地,它的一边长为 20m,面积为 16m2,为美化小区环境,现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏,则需要栅栏的长度为_ m.5在ABC 中,AB AC5cm ,BC 8cm,动点 P 从点 B 出发,以 0.25cm/s 的速度沿 BC 向点 C 匀速运动,当点 P 运动到 PA 与腰垂直时,点 P 运动的时间为_.等腰三角形分类讨论的解题
5、思路粗分有两种,第一种:用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边,后用三条线段依次相等建立方程后求解,第二种:分别作出三种等腰三角形条件下图形,利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解.1如图,在 RtABC 中,C=90,sin B ,AC =4; D 是 BC 的延长线上的一个动点,45EDA=B ,AE BC(1)找出图中的相似三角形,并加以证明;(2)设 CD=x,AE=y,求 y 关于 x 的函数解析式;(3)当ADE 为等腰三角形时,求 AE 的长2已知直线 l1 的解析式 y3x6,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,直线 l2 经过
6、B、C 两点,点 C 的坐标为(8,0).又知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动,点 Q 在直线 l2 上从点 C 向点 B 移动.点 P、Q 同时出发,且移动的速度都为每秒 1 个单位长度,设移动时间为 t 秒(0t10)(1)求直线 l2 的解析式; (2)设PCQ 的面积为 S,请求出 S 关于 t 的函数关系式(2)当 t 为何值时,PCQ 是等腰三角形AB C DE343在梯形 ABCD 中,已知 ABCD, ADDB,AD =DC=CB,AB=4以 AB 所在直线为 x轴,过D 且垂直于 AB 的直线为 y轴建立平面直角坐标系(1)求DAB 的度数及 A、D 、C 三点的
7、坐标;(2)求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L(3)若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点,当 PDB 为等腰三角形时,求点 P 的坐标D CBA Oxy LD CBA Oxy L5.与相似三角形相关:相似三角形常常因为对应边、对应角或其位置的不确定性而需要加以分类讨论,纵观近年中考试题,涉及相似三角形对应关系的试题屡见不鲜,解答此类问题,一定要注意保持思维的缜密性,谨防以偏概全的漏解错误.1.在ABC 中,AB 8,AC 6,点 D 在边 AC 上且 AD2,要在 AB 边上找一点 E,使ADE与原三角形相似,则 AE_.2.在ABC 中,B25,AD 是 BC 边上的高,并
8、且 AD2BDDC,则BCA 的度数为 3.如图,已知抛物线 y= x2bx c 与 x 轴交于点 A(1,0)和 B,与 y 轴交于点 C(0,3) (1)求此抛物线的解析式及点 B 的坐标;(2)设抛物线的顶点为 D,连结 CD、DB、CB 、AC 求证:AOCDCB; 在坐标轴上是否存在与原点 O 不重合的点 P,使以 P、A、C 为顶点的三角形与DCB相似?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设 Q 是抛物线上一点,连结 QB、 QC,把QBC 沿直线 BC 翻折得到QBC ,若四边形QBQC 为菱形,求此时点 Q 的坐标六、根据图形的位置变化进行分类讨论初中
9、数学中的分类讨论问题主要是以上几种动因引起的分类讨论,分类时要统一分类标准,做到不重复,不遗漏;逐类讨论,分级进行;最后归纳总结,得出答案.1 如图,在ABC 中,C=90,BC=8,AC=6 ,另有一直角梯形 DEFH(HFDE ,HDE=90)的底边 DE 落在 CB 上,腰 DH 落在 CA 上,且 DE=4, DEF=CBA ,AH AC =23.(1)延长 HF 交 AB 于 G,求 AHG 的面积.(2)操作:固定ABC,将直角梯形 DEFH 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向向右移动,直到点D 与点 B 重合时停止,设运动的时间为 t 秒,运动后的直角梯形为 DEFH(如图)
10、. 探究 1:在运动中,四边形 CDH H 能否为正方形?若能, 请求出此时 t 的值;若不能,请说明理由.探究 2:在运动过程中,ABC 与直角梯形 DEFH 重叠部分的面积为 y,求 y 与 t 的函数关系.xCOyA BD11xCOyA B11(第 3 题)672ABC 与ABC是两个直角边都等于 4 厘米的等腰直角三角形,M、N 分别是直角边 AC、BC的中点ABC 位置固定, ABC按如图叠放,使斜边 AB在直线 MN 上,顶点 B与点 M 重合等腰直角ABC以 1 厘米/ 秒的速度沿直线 MN 向右平移,直到点 A与点 N 重合设 x 秒时,ABC与ABC 重叠部分面积为 y 平方厘米(1)当ABC与ABC 重叠部分面积为 平方厘米时,求ABC移动的时间;322(2)求 y 与 x 的函数关系式;(3)求ABC与ABC 重叠部分面积的最大值8