1、1导数中分类讨论近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（1） 求导 )(xf（2） 令 =0（3） 求出 =0 的根)(xf（4） 作出导数的图像或等价于导数的图
2、像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程 =0 的类型引起的讨论、)(xf根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例 1.已知函数 ,求函数 的单调区间； )(1ln)(2Raxaxf )(xf例 2.已知函数 2()lnfxax， ()R， 讨论 ()fx在定义域上的单调性。2例 3.若函数 （a0） ，求函数的单调区间。xxfln2)(例 4.（2010 北
3、京） 已知函数 (x)=In(1+ )-x+ (k0)。求 f( )的单调区间。f 2x例 5.（2009 北京理改编）设函数 ，求函数 ()fx的单调区间kxef)(3题型二：极值、最值的讨论例 1.已知函数 ， aR.2()lnfxx（）若曲线 yf在点 (1,)Pf处的切线垂直于直线 2yx，求 a的值；（）求函数 ()x在区间 上的最小值.0 e例 2.已知函数 21()ln(0).fxax()若 在 处的切线与直线 平行,求 的单调区间;3210y()fx()求 在区间 上的最小值.()fx1,e例 3.已知函数 .()1)exfxa=+(I)求函数 的单调区间;()当 时,求函数
4、在区间 上的最小值.0a()fx2,0-4例 4.已知函数 在 处取得极值.()2)exfxa1()求 的值; ()求函数 在 上的最小值;()f,m()求证:对任意 ,都有 . 120x12|()|efxf例 5 32)(),32ln)( xpxgxf若对任意的 范围的 取 值恒 成 立 ， 求 实 数f(15导数问题中分类讨论的方法近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的
5、难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。（6） 求导 )(xf（7） 令 =0（8） 求出 =0 的根)(xf（9） 作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（10） 由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程 =0 的类型引起的讨论、)(xf根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论
6、） 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述题型一：单调性的讨论例 1.已知函数 ,求函数 的单调区间； )(1ln)(2Raxaxf )(xf解： ,)2(1)( xxf若 时，则 0 在（1， ）恒成立，0a)2(),2xafa 所以 的增区间（1， ）.(f若 ，故当 ， ， 2,0a则 2,(ax 01)2() xaf当 时， ，),x()xf6所以 a0 时 的减区间为（ ） ， 的增区间为 . )(xf 2,1a)(xf ),2a例 2.已知函数 2ln， (R， 讨论 在定义域上的单调性。解：由已知得 ，2()1,(0)axafx（1）当 ， 时， 恒成立， 在 上为增
7、函80)f(fx,)数（2）当 ， 时，a11) 时， ， 在108802a()fx1,2a上为减函数， 在 上为增函数，()fx1810,)2a2）当 时， ，故 在 上为减函数，0a()fx80,2a在 182a，）上为增函数 ()fx综上，当 时， 在 上为增函数;a()fx0,)当) 时， 在 上为减函数，108f181,2a在 上为增函数，()fx80,)2a当 a0 时， 在（0，182a上为减函数，()fx在 182a， ）上为增函数()fx例 3.若函数 （a0） ，求函数的单调区间。xfln)(解： )(212xaf令 =0，即： （注意这里方程的类型需要讨论）)(f 07作
8、出 的图像，由图像可知,20xa， 则若 2)(xg在（0,2）上为减函数，在（2，+）上为增函数)(f若 由 ，得,081a， 则 02x0x21ax812作出 的图像，由图像可知)(ah在xf 上 为 增 函 数上 为 减 函 数 ， 在 （ ),022 x综上所述： ， 在（0,2）上为减函数，在（2，+）上为增函数时)(f在时 ， )(0xfa） 上 为 减 函 数，（ a810在 ） 上 为 增 函 数，（ 21例 4.（2010 北京） 已知函数 (x)=In(1+ )-x+ (k0)。求 f( )的单调区间。f 2x解： )1(1(1)( xkkxf令 =0，即： （这里需要对方
9、程 的类型讨论）x0) 0kx若 k=0，则 xf)(在（-1,0）上为增函数，在（ 0，+ ）上为减函数)(xf若 k0,由 得，)1(k（这里需要对两个根的大小进行讨论）0x或若 k=1，则 ， 在（-1, ）上为增函数xf1)(2)(f若 ，则 在 或 上为增函数 0kf0,(,1k在 上为减函数),k8若 ，则 在 或 上为增函数 1k)(xf)1,k),0(在 上为减函数0综上所述：若 k=0， 在（-1,0）上为增函数，在（0，+）上为减函数)(xf若 ， 在 或 上为增函数 10k),1(),k在 上为减函数,k若 k=1， 在（-1,）上为增函数)(xf若 ， 在 或 上为增函
10、数 ,在 上为减函数1k)1,k),0()0,1(k例 5.（2009 北京理改编）设函数 ，求函数 )fx的单调区间kxef解： )()(xefkxk令 ，即 （这里需要对方程 的类型0x0101kx讨论）若，则 ， 在上为增函数)(f)(xf若 k0 则由 得， (这里需要对 的斜率01xk11kxy讨论)若 k0 则 在 上为减函数，在 上为增函数 )(f),),(k若 k0 则 在 上为减函数，在 上为增函数 x)1,k),1(k若 k()fx2,0-【答案】解:定义域为 R )1()(1)() axeaexf xx()当 时, ,则 的单调增区间为 00 ff ),(当 时,解 得,
11、 ,解 得, , a)(xa0)(xfa1则 的单调增区间为 , 的单调减区间为 ()fx)1),(当 时 ,解 得, ,解 得, , 00)(xf)xf则 的单调增区间为 , 的单调减区间为 ()fx)a(f ),1(a() 当 时, 即 当 时, 在 上是减函数,在21a1()fx),2上是增函数,则函数 在区间-2,0上的最小值为 )0( ()fxaef1当 时, 即 当 时, 在 上是增函数, 210a10a()fx02则函数 在区间-2,0上的最小值为 ()fx 2)(eaf综上: 当 时, 在区间 -2,0上最小值为 1()fxa1当 时 , 在区间-2,0上最小值为 0a 2e1
12、2例 4.已知函数 在 处取得极值.()2)exfxa1()求 的值; ()求函数 在 上的最小值;()f,m()求证:对任意 ,都有 . 120x12|()|efxf【答案】() ()(xfaeea由已知得 即 )x解得: 1a当 时,在 处函数 取得极小值,所以 x()2)xfe1a() , .()2fe+xxe(,1)(,)()fx- 0 +减 增所以函数 在 递减,在 递增 ()fx1,当 时, 在 单调递增, 1mmmin()fxfme)2(当 时 , 0在 单调递减,在 单调递增, . ()fx1,in()1ff当 时, , +在 单调递减, ()fm1min()().mfxfe综
13、上 在 上的最小值fx,1in12,()0),.mfe()由()知 , . ()2xfe()+xxxf e令 得 因为 ()0fx10,1e,(2)0ff所以 mamin,()efx所以,对任意 ,都有 1212maxin|()|()()effff13例 5 32)(),32ln)( xpxgxf若对任意的 范围的 取 值恒 成 立 ， 求 实 数f(1解： ），的 定 义 域 为 （ 0)(xf xpxgh2ln2)(设 2)(px设令 （对方程类型的讨论）02,0 pxh即设若 p=0,则 )(2 x设 不 符 合 要 求上 为 增 函 数在则 ,)1()(,1)( minhx若 p0,由 得02px（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）x1或若 ,符合题意则即 ,1,2pp0)1()(minhx若 ，不符合题意则即 ,0, 02)()(inp若 ，符合题意则即 ,12,1pp)1()(minhx若 ，符合题意则即 ,0202)()(inh若 ，符合题意则即 ,2,1p)1()(minpx若 ，不符合题意则即 ,202)(h若 ，不符合题意则即 ,p)1(14若 ，不符合题意则即 ,20,2pp 02)1(ph综上所述：p 的取值范围为 ,
