分类讨论型问题探究.doc

1、- 1 -分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.例 1（2005 年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为 40 米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为 15 米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意

2、，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图 1)，由勾股定理得 AE25（m）由 DEFC 得， ，得 FC24（m） S ABC = 4024=480（m 2）FCEDA12(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图 2)同理可得，S ABC = 6424=768（m 2）12说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。练习一1、 （2005 年资阳市）若O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为b(ab)，则此圆的半径为（ ）A. B. C. 或 D. a+b 或 a-b2ab2ab2

3、ab2 （2005 年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 4 条 (D) 8 条3（2005 年潍坊市）已知圆 和圆 相切，两圆的圆心距为 8cm，圆 的 ABA图 1 图 2A- 2 -半径为 3cm，则圆 的半径是（ ） BA5cm B11cm C3cm D5cm 或 11cm4.（2005 年北京） 在ABC 中，B25，AD 是 BC 边上的高，并且，则BCA 的度数为_。D25、 （2005 年金华）直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线yx 2x6 与 x 轴交于

4、A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C.如果点 M 在 y 轴右侧的抛物线上， SAMO SCOB ，23那么点 M 的坐标是 .例题 2（2005 年金华）如图，在矩形 ABCD 中，AD8，点 E 是 AB边上的一点，AE2 . 过 D，E2两点作直线 PQ，与 BC 边所在的直线 MN 相交于点 F.（1）求 tanADE 的值；（2）点 G 是线段 AD 上的一个动点，GHDE，垂足为 H. 设 DG 为 x，四边形 AEHG 的面积为 y，试写出 y 与 x 之间的函数关系式；（3）如果 AE2EB，点 O 是直线 MN 上的一个动点，以 O 为圆心作圆，使O

5、 与直线PQ 相切，同时又与矩形 ABCD 的某一边相切. 问满足条件的O 有几个？并求出其中一个圆的半径.分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。解：（1） 矩形 ABCD 中，A90，AD8，AE2 ， 2 tanADE . AEAD 24（2） DE 6 ， AD2 AE2 2 sinADE ，cosADE . AEED 13 ADED 86 2在 RtDGH 中， GDx， DHDGcosADE x，yxCBOAAB CDEFGHNMQPO- 3 - S DGH DGDHsi

6、nADE x x x2. 12 12 13 S AED ADAE 82 8 ，12 12 2 2 yS AED S DGH 8 x2，2即 y 与 x 之间的函数关系式是 y x28 . 2（3）满足条件的O 有 4 个. 以O 在 AB 的左侧与 AB 相切为例，求O 半径如下： ADFN， AEDBEF. PFNADE. sinPFNsinADE .13 AE2BE， AED 与BEF 的相似比为 21， ，FB4.ADFB 12过点 O 作 OIFP，垂足为 I，设O 的半径为 r，那么 FO4r. sinPFN ，OIFO r4 r 13 r1. （满足条件的O 还有：O 在 AB 的

7、右侧与 AB 相切，这时 r2；O 在 CD 的左侧与CD 相切，这时 r3；O 在 CD 的右侧与 CD 相切，这时 r6） 说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。- 4 -练习二1、 （2005 年河南）如图 1， 中， , , ,点 在边ABCRt9012AC5BM上，且 .AB6M(1)动点 在边 上运动，且与点 ， 均不重合，设DxD设 与 的面积之比为 ，求 与 之间的函数关系式（写出自变量Cy的取值范围） ；当 取何值时， 是等腰三角形？写出你的理由。xA（2）如图 2，以图 1 中的为一组邻边

8、的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？2 （2005 年河南课改）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AB2，DC2 ，点 P 在边 BC 上运动(与 B、C 不重合)，设2PCx，四边形 ABPD 的面积为 y。求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；若以 D 为圆心、 为半径作D，以 P 为圆心、以 PC 的长为半径作P，当 x 为何值12时，D 与P 相切？并求出这两圆相切时四边形 ABPD 的面积。AB CDP- 5 -3、 （2005 年常州）已知 的半径为 1，以 为原点，建立如图

9、所示的直角坐标系有O一个正方形 ，顶点 的坐标为（ ，0） ，顶点 在 轴上方，顶点 在ABCD3AxD 上运动O（1）当点 运动到与点 、 在一条直线上时， 与 相切吗？如果相切，请CDO说明理由，并求出 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点 的横坐标为 ，正方形 的面积为 ，求出 与 的函数关系式，xABSx并求出 的最大值和最小值S- 13 -1-111yxODCBA- 6 -4、 （2005 年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:点 P 是正方形 ABCD 内的一点,过点 P 画直线 l 分别交正方形的两边于点 M、N,使点 P是线段 MN

10、的三等分点,这样的直线能够画几条?经过思考,甲同学给出如下画法:如图 1,过点 P 画 PEAB 于 E,在 EB 上取点 M,使 EM=2EA,画直线 MP 交 AD 于 N,则直线MN 就是符合条件的直线 l.根据以上信息,解决下列问题:(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.(2)在图 1 中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图 1 中画出.(3)如图 2,A1、 C1 分别是正方形 ABCD 的边 AB、CD 上的三等分点,且 A1C1AD.当点 P 在线段 A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?(4)如图 3,正方形 ABCD 边界上的 A1、A

11、 2、B 1、B 2、C 1、C 2、D 1、D 2 都是所在边的三等分点.当点 P 在正方形 ABCD 内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线 l 的条数的情况.- 7 -5、 （2005 年上海）在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，O 是边 AC 上的一个动点，以点 O 为圆心作半圆，与边 AB 相切于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EPED，交射线 AB 于点 P，交射线 CB 于点 F。(1)如图 8，求证：ADEAEP；(2)设 OAx，APy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当 BF1 时，求线段 AP 的长.图9图图图图图图8BPFEDBC

12、A ACO- 8 -能力训练1、 （2005 年河北课改）图 151 至 157 中的网格图均是 2020 的等距网格图（每个小方格的边长均为 1 个单位长） 。侦察兵王凯在 P 点观察区域 MNCD 内的活动情况。当 5个单位长的列车（图中的）以每秒 1 个单位长的速度在铁路线 MN 上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域 MNCD 内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙） 。设列车车头运行到 M 点的时刻为 0，列车从 M 点向 N 点方向运行的时间为 t（秒） 。在区域 MNCD 内，请你针对图 151，图 152，图 153，图 154 中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲

13、区，并在盲区内涂上阴影。只考虑在区域 ABCD 内形成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是 y（平方单位） 。如图 155，当 5t10 时，请你求出用 t 表示 y 的函数关系式；如图 156，当 10t15 时，请你求出用 t 表示 y 的函数关系式；如图 157，当 15t20 时，请你求出用 t 表示 y 的函数关系式；根据中得到的结论，请你简单概括 y 随 t 的变化而变化的情况。根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域 MNCD 内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题是额外加分，加分幅度为 14分） 。- 9 -2、（2005 年锦州）如图，在平面

14、直角坐标系中有一直角梯形 OABC，AOC=90，ABOC，OC 在 x 轴上，过 A、B、C 三点的抛物线表达式为 . (1)求 A、B、C 三点的坐标； (2)如果在梯形 OABC 内有一矩形 MNPO，使 M 在 y 轴上，N 在 BC 边上，P 在 OC 边上，当 MN 为多少时，矩形 MNPO 的面积最大？最大面积是多少？ (3)若用一条直线将梯形 OABC 分为面积相等的两部分，试说明你的分法. 注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分. - 10 -3 （2005 年徐州）有一根直尺的短边长 2，长边长 10，还有一块锐角为 45的直角三角形纸板，它的斜边长 1

15、2cm如图 12，将直尺的短边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合.将直尺沿 AB 方向平移(如图 13)，设平移的长度为xcm(0x10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为 S 2.(1)当 x=0 时(如图 12)，S=_；当 x = 10 时，S =_.(2) 当 0x4 时(如图 13)，求 S 关于 x 的函数关系式；(3)当 4x10 时，求 S 关于 x 的函数关系式，并求出 S 的最大值(同学可在图 14、图 15 中画草图).(图 12)(D) EFCBAA BC(图 14) A BC(图 15)xFEGA BCD(图 1

16、3)不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！- 11 -4、 （2005 年四川）已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交于不同的两点 A(x1，0)和B(x2，0)，与 y 轴的正半轴交于点 C。如果 x1、x 2 是方程 x2x6=0 的两个根(x 1x2)，且ABC 的面积为 。152(1)求此抛物线的解析式；(2)求直线 AC 和 BC 的方程；(3)如果 P 是线段 AC 上的一个动点(不与点 A、C 重合)，过点 P 作直线 y=m(m 为常数)，与直线 BC 交于点 Q，则在 x 轴上是否存在点 R，使得PQR 为等腰直角三角形?若存在，求出点 R 的坐标

17、；若不存在，请说明理由。 yx0-4-4-2-28642642- 12 -5 （2005 年潍坊）抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ,已知抛2yaxbcxAByC物线的对称轴为 ， , .1x(30)B)C（1）求二次函数 的解析式；2yxc（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使点 到 、 两点距离之差最大？若存PBC在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由；P（3）平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与xMN、轴相切，求此圆的半径xOxyACB1- 13 -6、 （2005 年太原）如图，直线 y= x+2 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C 是AB

18、O 的外接圆(O 为坐3标原点)，BAO 的平分线交C 于点 D，连接 BD、OD。(1)求证：BD=AO；(2)在坐标轴上求点 E，使得ODE 与OAB 相似；(3)设点 A在 OAB 上由 O 向 B 移动，但不与点 O、B 重合，记OAB 的内心为 I，点I 随点 A的移动所经过的路程为 l，求 l 的取值范围。- 14 -7、 （2005 年大连）如图，P 是 y 轴上一动点，是否存在平行于 y 轴的直线 xt，使它与直线 yx 和直线 分别交于点 D、E（E 在 D 的上方） ，且PDE 为等腰直角12x三角形。若存在，求 t 的值及点 P 的坐标；若不存在，请说明原因。y= x21

19、ky=xO xy- 15 -8、 （2005 年江苏）已知二次函数的图象如图所示。 求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标； 若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 轴的垂线，垂足为点 Q。当点 N 在线段xBM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合） ，设 NQ 的长为 ，四边形 NQAC 的面积为 ，求t S与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围；St t 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 将OAC 补成矩形，使上OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一

20、边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程） 。 xy 03 y 第 26题 图 x 1O 2 -3 -2 -1-2-1ACNMQB321O- 16 -答案：练习一1、C； 2、C； 3、D； 14、65 度或 115 度；5、 （1，6） ， （4，6）练习二1、- 17 -2、过点 D 作 DEBC 于 E，ABC90 0，DEAB2，又DC2 ，EC 22 DC2 DE2BCBEECADEC213S 四边形 ABPD 4x，(AD BP)AB2 (1 3 x)22即 yx4 (0x3）当 P 与 E 重合时，P 与D 相交，不合题意；当点 P 与点 E 不重合时，在 Rt

21、DEP 中，DP2DE 2EP 22 2|2 x| 2x 24x8P 的半径为 x，D 的半径为 ， 当P 与D 外切时，12(x )2x 24x8，解得 x12 3120此时四边形 ABPD 的面积 y4 3120 4920当P 与D 内切时，(x )2x 24x8，解得 x12 3112- 18 -此时四边形 ABPD 的面积 y4 3112 1712P 与D 相切时，四边形 ABPD 的面积为 或4920 17123、 （1）CD 与O 相切。 因为 A、D、O 在一直线上，ADC=90，所以COD=90，所以 CD 是O 的切线 CD 与O 相切时，有两种情况：切点在第二象限时（如图）

22、 ，设正方形 ABCD 的边长为 a，则 a2（a1） 2=13，解得 a=2，或 a=-3（舍去） 过点 D 作 DEOB 于 E，则 RtODERtOBA，所以 ，OAB所以 DE= ，OE= ，132所以点 D1的坐标是（- ， ） 132所以 OD 所在直线对应的函数表达式为 y= x3切点在第四象限时（如图） ，设正方形 ABCD 的边长为 b，则 b2（b1）2=13，解得 b=-2（舍去） ，或 b=3 过点 D 作 DFOB 于 F，则 RtODFRtOBA，所以 ，BAO所以 OF= ，DF= ，132所以点 D2的坐标是（ ，- ） 13- 13-11-1 1EOBCDAy

23、x- 13-11-1 1FOBCDAyx- 19 -所以 OD 所在直线对应的函数表达式为 y= x23（2）如图，过点 D 作 DGOB 于 G，连接 BD、OD，则 BD2=BG2DG 2=（BO OG） 2OD 2-OG2= xx13413所以 S=AB2= BD72因为-1x1，所以 S 的最大值为 ，S 的最小值为 134、(1)的画法正确.因为 PEAD,所以MPEMNA,所以 ,而 EM=2EA,MAENP所以 MP:MN=2:3,因此点 P 是线段 MN 的一个三等分点.(2)能画出一个符合题目条件的直线,在 EB 上取 M1,使 EM1= AE,直线 M1P 就是满足条件2的

24、直线,图略;(3)若点 P 在线段 A1C1上,能够画出符合题目条件的直线无数条,图略;(4)若点 P 在 A1C1,A2C2,B1D1,B2D2 上时,可以画出无数条符合条件的直线 l;当点 P 在正方形 A0B0C0D0 内部时,不存在这样的直线 l,使得点 P 是线段 MN 的三等分点;当点 P 在矩形 ABB1D1,CDD2B2,A0D0D2D1,B0B1B2C0 内部时,过点 P 可画出两条符合条件的直线 l,使得点 P 是线段 MN 的三等分点.5、G- 13-11-1 1FOBCDAyx- 20 -2234,55846165(0)ODCBAxOEADxxEPAyxyyxDxx:（

25、 ） 同 理 可 得 ：35(46, 90512665ECxAPBDOHJxEDPFBAPx:由 题 意 可 知 存 在 三 种 情 况但 当 在 点 左 侧 时 显 然 大 于 所 以 不 合 舍 去当 时 如 图 ）延 长 ， 交 于易 证 4,12654DOPEHJBFxAP:当 时 点 在 点 的 右 侧延 长 交 于 点同 理 可 得能力训练1、解：略- 21 -如图 6，当 5t10 时，盲区是梯形 AA1D1DO 是 PQ 中点，且 OAQD，A 1，A 分别是 PD1和 PD 中点A 1A 是PD1D 的中位线。又A 1A ，D 1D5t)5(2t而梯形 AA1D1D 的高 O

26、Q=10， 70)()(2ttty 75如图 7，当 10t15 时，盲区是梯形 A2B22C22D22，易知 A2B2 是PC 2D2 的中位线，且 A2B2=5，C 2D2=10又梯形 A2B2C2D2 的高 OQ=10， 7510)5(yy如图 8，当 15t20 时，盲区是梯形 B3BCC3易知 BB3是PCC 3的中位线且 BB3 tt2)(又梯形 B3BCC3的高 OQ=10， ttty 1530)0()(1 50当 5t10 时，由一次函数 的性质可知，盲区的面积由 0 逐渐增大到7ty75；当 10t15 时，盲区的面积 y 为定值 75；当 15t20 时，由一次函数 的性质

27、可知，盲区的面积由 75 逐渐减小到t15300通过上述研究可知，列车从 M 点向 N 点方向运行的过程中，在区域 MNCD 内盲区面积大小的变化是：在 0t10 时段内，盲区面积从 0 逐渐增大到 75；在 10t15 时段内，盲区的面积为定值 75；在 15t20 时段内，盲区面积从 75 逐渐减小到 0- 22 -2、(1)由图形得，点 A 横坐标为 0，将 x=0 代入 ，得 y=10，A(0,10) ABOC，B 点纵坐标为 10，将 y=10 代入 得，x 1=0, x2=8.B 点在第一象限，B 点坐标为(8,10) C 点在 x 轴上，C 点纵坐标为 0，将 y=0 代入 得，

28、解得x 1=-10，x 2=18. C 在原点的右侧，C 点坐标为(18,0). (2)法一：过 B 作 BQOC，交 MN 于 H，交 OC 于 Q，则 RtBNHRtBCQ， . 设 MN=x，NP=y，则有 .y=18-x. S 矩形 MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81. 法二：过 B 作 BQx 轴于 Q，则 RtCPNRtCQB， .设 MN=x，NP=y，则有 .y=18-x.S 矩形 MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.

29、当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81.法三：利用 RtBHNRtNPC 也能解答，评分标准同上.法四：过 B 点作 BQx 轴于 Q，则 RtBQCRtNPC，- 23 -QC=OC-OQ=18-8=10，又 QB=OA=10，BQC 为等腰直角三角形，NPC 为等腰直角三角形.设 MN=x 时矩形 MNPO 的面积最大.PN=PC=OC-OP=18-x.S 矩形 MNOP=MNPN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81.(3)评

30、价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分. 过上、下底作一条直线交 AB 于 E，交 OC 于 F，且满足于梯形 AEFO 或梯形 BEFC 的上底与下底的和为 13 即可. 构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：， ； ， ；， ； ， ；不要求写出 P 点的坐标. 平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分； 2(1)由图形得，点 A 横坐标为 0，将 x=0 代入 ，得 y=10，A(0,10) - 24 -ABO

31、C，B 点纵坐标为 10，将 y=10 代入 得，x 1=0, x2=8.B 点在第一象限，B 点坐标为(8,10) C 点在 x 轴上，C 点纵坐标为 0，将 y=0 代入 得，解得x 1=-10，x 2=18. C 在原点的右侧，C 点坐标为(18,0).(2)法一：过 B 作 BQOC，交 MN 于 H，交 OC 于 Q，则 RtBNHRtBCQ， . 设 MN=x，NP=y，则有 .y=18-x. S 矩形 MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81. 法二：过 B

32、作 BQx 轴于 Q，则 RtCPNRtCQB， .设 MN=x，NP=y，则有 .y=18-x.S 矩形 MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81.法三：利用 RtBHNRtNPC 也能解答，评分标准同上.法四：过 B 点作 BQx 轴于 Q，则 RtBQCRtNPC，QC=OC-OQ=18-8=10，又 QB=OA=10，BQC 为等腰直角三角形，NPC 为等腰直角三角形.设 MN=x 时矩形 MNPO 的面积最大.PN=PC=OC-OP=18-x.S 矩形 MNOP=

33、MNPN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.- 25 -当 x=9 时，有最大值 81.即 MN=9 时，矩形 MNPO 的面积最大，最大值为 81.(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分. 过上、下底作一条直线交 AB 于 E，交 OC 于 F，且满足于梯形 AEFO 或梯形 BEFC 的上底与下底的和为 13 即可. 构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：， ； ， ；， ； ， ；不要求写出 P 点的坐标. 平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分； 3、- 26 -4、- 27 - 28 - 29 - 30 -5、解：（1）将 代入 ，(0,3)Ccbxay2得 c将 ， 代入 ，(,)B2得 .(1)039ba 是对称轴，1x (2) 2将（2）代入（1）得， ab所以，二次函数得解析式是 32xy（2） 与对称轴的交点 即为到 的距离之差最大的点ACPBC、 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，(0,3)A(1,0) 直线 的解析式是 ，xy又对称轴为 ，1 点 的坐标 P(,6)（3）设 、 ，所求圆的半径为 r，1Mxy2,N则 ，.(1)r2