1、第八章点的合成运动,主要内容,8.1 点的合成运动的基本概念,8.2 点的速度合成定理,8.3 点的加速度合成定理,点的合成运动,在点的运动学中，我们讨论了在所选定的某一参考系中研究动点运动的一般方法，而且我们知道了对运动的描述是相对的，即从不同的参考系观察同一物体的运动，会得到不同的结论。,这些不同的结论之间会有什么样的联系呢？,这是本章的重要内容。本章将从两个具有不同运动的参考系中去研究同一动点的运动以及其相互关系，并由此引伸出一种新的、有效的运动分析方法点的合成运动方法。它在处理比较复杂的问题以及机械运动分析时，具有重要的实用意义 。,一.点的合成运动,1.定义,运动是具有相对性的，相对
2、于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个简单运动组合而成，这时称这种运动为合成运动。,2.点的合成运动理论主要解决的问题,把复杂的运动分解成两种简单的运动，求得简单运动的运动量后，再加以合成。这种化繁为简的研究问题的方法，在解决工程实际问题时具有重要意义。,讨论机构中运动构件运动量之间的关系。,研究无直接联系的两运动物体运动量之间的关系。,8.1 点的合成运动的基本概念,二.一点.两参.三种运动,1.动点,所要研究的物体上的一点.,2.两个参考系,定参考系(静参考系):固连于地面上的参考系.,动参考系:固连于相对于地面运动的物体上的参考系.,3.三种运动,绝对运动:动点相对于定参考系的运动
3、称为绝对运动.,相对运动:动点相对于动参考系的运动称为相对运动.,牵连运动:动系相对于定系的运动称为牵连运动.,8.1 点的合成运动的基本概念,绝对运动,相对运动,牵连运动,绝对运动和相对运动指的是点的运动,而牵连运动指的是参考体的运动,实际上是刚体的运动.,8.1 点的合成运动的基本概念,和绝对运动相对应的为:,绝对轨迹,绝对速度,绝对加速度,和相对运动相对应的为:,相对轨迹,相对速度,相对加速度,牵连运动没有轨迹,因为牵连运动是刚体的运动,不是一个点的运动.,和牵连运动相对应的为:,牵连速度,牵连加速度,8.1 点的合成运动的基本概念,牵连速度和牵连加速度指的是某瞬时在动参考系上与动点重合
4、的那点（牵连点）相对于静参考系的速度和加速度.,8.1 点的合成运动的基本概念, 动画,牵连点, 动画,牵连点, 动画,运动分析, 动画,运动分析,例 题 8-1,M点相对于动系Ox y沿半径为r的圆周以速度v作匀速圆周运动（圆心为O1），动系Ox y相对于定系Oxy以匀角速度绕O轴作定轴转动，如图所示，初始时Ox y与Oxy重合，M点与O重合，试求M点的绝对运动方程。,8.1 点的合成运动的基本概念,运 动 演 示,例 题 8-1,8.1 点的合成运动的基本概念,解：,M点的相对运动方程为,牵连运动方程为,M 点的绝对运动方程为,应用坐标变换式,y,x,y,x,O,M,v,r,O1,如图所示
5、，角,例 题 8-1,8.1 点的合成运动的基本概念,用铣刀切削工件的直径端面，刀尖M 沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为x =sin t。工件以匀角速度逆时针转向转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。,例 题 8-2,8.1 点的合成运动的基本概念,运 动 演 示,例 题 8-2,8.1 点的合成运动的基本概念,相 对 运 动 轨 迹,例 题 8-2,8.1 点的合成运动的基本概念,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Ox y，固连于工件上。,2. 运动分析。,绝对运动沿 x 轴的直线运动。,相对运动平面曲线。,牵连运动绕O轴的定轴转动。,动点刀尖上的M
6、点。,定系固连于机座。,例 题 8-2,8.1 点的合成运动的基本概念,3. 求刀尖 M 相对于工件的运动轨迹方程。,动点 M 在动坐标系O x y 和动坐标系Ox y 中的坐标关系为：,将 M 点的绝对运动方程代入上式得：,消去时间 t，得刀尖相对轨迹方程,例 题 8-2,8.1 点的合成运动的基本概念,在任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度和相对速度的矢量和。这称为点的速度合成定理。即动点的绝对速度可由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定，这个平行四边形称为速度平行四边形。,1.定理,2.证明,设动点的相对轨迹为曲线AB，为了便于理解假设AB为一金属线，动参考系就固连于金属线
7、上，图中并未画出，动点可以看成是沿着金属线滑动的一个极小的圆环。,8.2 点的速度合成定理,8.2 点的速度合成定理, 动画,速度合成定理,刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，两间距离OO1= l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1。,例 题 8-3,8.2 点的速度合成定理,运 动 演 示,例 题 8-3,8.2 点的速度合成定理,相 对 运 动 轨 迹,例 题 8-3,8.2 点的速度合成定理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系O1xy，固连于摇杆
8、O1B。,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心的圆周运动。,相对运动沿O1B的直线运动。,牵连运动摇杆绕O1轴的摆动。,动点滑块 A 。,定系固连于机座。,例 题 8-3,8.2 点的速度合成定理,应用速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va：vaOA r ，方 向垂直于OA，沿铅垂 方向向上。,相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。,牵连速度ve：ve为所要求的未知量，,例 题 8-3,方向垂直于O1B 。,8.2 点的速度合成定理,因为,所以,设摇杆在此瞬时的角速度为1，则,其中,所以可得,例 题 8-3,8.2 点的速度合成定理,如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速
9、度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。,例 题 8-4,e,O,C,B,8.2 点的速度合成定理,运 动 演 示,例 题 8-4,8.2 点的速度合成定理,e,O,C,B,动系Oxy，固连于凸轮。,2. 运动分析。,绝对运动直线运动。,相对运动以C为圆心的圆周运动。,牵连运动绕O 轴的定轴转动。,动点 AB的端点A 。,定系固连于机座。,例 题 8-4,1. 选择动点，动系与定系。,8.2 点的速度合成定理,e,O,C,A,B,应用速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va： va为所要求的未知量， 方向沿杆AB。,
10、相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线 。,牵连速度ve： veOA ，方向垂直 于OA 。,例 题 8-4,8.2 点的速度合成定理,矿砂从传送带A落到另一传送带B上，如图所示，站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4 ms1，方向与铅直线成 角。已知传送带B水平传动速度v2=3 ms1 ，求矿砂相对于传送带B 的速度。,B,A,M,v1,v2,例 题 8-5,8.2 点的速度合成定理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Oxy，固连于传动带B上。,2. 运动分析。,绝对运动平面曲线运动 。,牵连运动直线平动 。,动点 矿砂M 。,相对运动平面曲线运动 。,定系固连于机座。,例 题
11、 8-5,8.2 点的速度合成定理,应用速度合成定理,3. 速度分析,绝对速度va： vav1 ，方向已知。,相对速度vr：大小和方向未知。,牵连速度ve： vev2 ，方向水平向左 。,例 题 8-5,8.2 点的速度合成定理,由几何关系,vr 与 va 的夹角,例 题 8-5,8.2 点的速度合成定理,圆盘半径为R，以角速度1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。求当连线OM在水平位置时，圆盘边缘的M点的绝对速度。,例 题 8-6,8.2 点的速度合成定理,运 动 演 示,例 题 8-6,8.2 点的速度合成定
12、理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Axyz ，固连于框架上。,2. 运动分析。,绝对运动空间曲线运动 。,牵连运动绕 z 轴的定轴转动。,动点 点M 。,相对运动以O为圆心的圆周运动 。,定系固连于机座。,例 题 8-6,8.2 点的速度合成定理,应用速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va： va 为所要求的未知量，方向 未知。,相对速度vr： vr 1R ，垂直于OM，,牵连速度ve： ve 2 R ， 在水平面内， 方向垂直于OM 。,例 题 8-6,方向向下 。,8.2 点的速度合成定理,得,例 题 8-6,8.2 点的速度合成定理,为了便于推导，先分析动参考系为定轴转动
13、时，其单位矢量 对时间的导数。,设动参考系 以角速度 绕定轴转动，角速度矢为 。把定轴取为定坐标轴的 轴，如图。,先分析 对时间的导数。设 的矢端点 的矢径为 ，则点 的速度既等于矢径 对时间的一阶导数，又可用角速度矢 和矢径 的矢积表示，即,由图有,其中 为动系原点 的矢径，将上式代入前式，得,8.3 点的加速度合成定理,由于动系原点 的速度为,代入前式得,的导数与上式相似，合写为,上式是在动系作定轴转动情况下证明的。当动参考系作任意运动时，可以证明上式仍然是正确的，这时 为动系在该瞬时的角速度矢。,8.3 点的加速度合成定理,下面推导点的加速度合成定理。如图，设动系在该瞬时的角速度矢为,动
14、点的相对加速度为,由于相对加速度是动点相对于动系的加速度，即在动系上观察的动点的加速度，因此使用相对导数， 为常矢量。,动点的牵连加速度为,由于牵连加速度是动系上与动点重合那一点即牵连点 的加速度，该点是动系上的点，因此点 在动系上的坐标 是常量。,(a),(b),8.3 点的加速度合成定理,动点的绝对加速度为,绝对加速度是动点相对于定系的加速度，动点在动系中的坐标 是时间的函数；同时由于动系在运动，动系的三个单位矢 的方向在不断变化，它们也是时间的函数。,由式 及式 有,(c),(d),将式(a)、(b)、(d)代入式(c)，得,令,称 为科氏加速度,8.3 点的加速度合成定理,上式表示点的
15、加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。,当牵连运动为任意运动时上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式,根据矢积运算规则， 的大小为,其中 为 与 两矢量间的最小夹角。矢 垂直于 和 ，指向按右手法则确定，如图,当 和 平行时（ ）， ；当 与 垂直时， 。,8.3 点的加速度合成定理,上式称为牵连运动为平动时点的加速度合成定理。即：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。,当牵连运动为平移时， 因此 ，此时有,科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。,8
16、.3 点的加速度合成定理,空气压缩机的工作以角速度 绕垂直于图面的O轴匀速运动，空气以相对速度vr沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示，如曲线AB在C点的曲率半径为，通过点C的法线与半径间夹的角为，CO=r,求气体微团在C点的绝对加速度aa。,例 题 8-7,8.3 点的加速度合成定理,运 动 演 示,例 题 8-7,8.3 点的加速度合成定理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Oxy，固连于工作轮。,2. 运动分析。,绝对运动平面曲线运动。,牵连运动绕轴O定轴转动。,动点取气体微团。,相对运动沿曲线AB运动。,定系固连于机座。,例 题 8-7,8.3 点的加速度合成定理,3. 加速度分析。,
17、绝对加速度aa：大小方向均未知。,牵连加速度ae： ae = 2 r ，沿OC 指向O ；,相对加速度ar： ae = vr 2 / ，方向如图。,科氏加速度aC： 垂直于vr ，指向如图。,例 题 8-7,8.3 点的加速度合成定理,分别投影到x ，y轴上,绝对加速度的大小,方向可由其方向余弦确定。,根据加速度合成定理,例 题 8-7,8.3 点的加速度合成定理,刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度1。,例 题
18、8-8,8.3 点的加速度合成定理,由例题3速度分析得,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系O1xy，固连于摇杆O1B。,动点滑块A 。,定系固连于机座。,例 题 8-8,8.3 点的加速度合成定理,x,y,O1,O,1,A,B,2. 加速度分析。,绝对加速度aa： ae = 2 r ，沿着OA，指向O 。,相对加速度ar：大小未知，假设沿O1B向上。,牵连加速度切向分量aet：大小未知，垂直于 O1B，假设指向右下。,例 题 8-8,8.3 点的加速度合成定理,上式向O1x 轴投影,或,解得,故摇杆O1A的角加速度,转向为逆时针,根据加速度合成定理,例 题 8-8,8.3 点的加速度合成
19、定理,图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度0 转动，套筒A可沿BC杆滑动，已知BC=DE，且BD=CE=l，求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。,例 题 8-9,8.3 点的加速度合成定理,运 动 演 示,例 题 8-9,8.3 点的加速度合成定理,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系Cxy，固连于杆BC。,2. 运动分析。,绝对运动以O为圆心的圆周运动。,牵连运动平动。,动点 滑块A 。,相对运动沿杆BC直线运动。,定系固连于机座。,例 题 8-9,8.3 点的加速度合成定理,3. 速度分析。,绝对速度va：va = 0 r，垂直于OA向下。,相对速度vr：大小未知，方向沿杆
20、BC向左,牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。,可得,因而杆BD的角速度大小为,应用速度合成定理,例 题 8-9,8.3 点的加速度合成定理,4. 加速度分析。,绝对加速度aa： aa = o r ，沿OA，指向,牵连加速度切向分量aet：与aBt相同，大 小未知，垂直于DB，假设向下。,相对加速度ar：大小未知，沿BC杆，指 向未知，假设向右。,牵连加速度法向分量aen：aen = aBn = 2l =o 2r2 / l，方向沿直线DB，指向,例 题 8-9,O。,D。,8.3 点的加速度合成定理,上式两端向 y 轴投影得,解得,根据加速度合成定理,所以杆BD的角加速度,例 题
21、8-9,8.3 点的加速度合成定理,圆盘半径R=50 mm以匀角速度1绕水平轴CD转动，同时框架和CD轴一起以匀速度2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所示，如1 = 5 rads1， 2= 3 rads1 ，求圆盘上 M1和 M2两点的绝对加速度。,例 题 8-10,8.3 点的加速度合成定理,解：,1. 计算M1点的加速度。,动系Axy，固连于框架。,动点圆盘上的M1点。,相对速度 v1r 1R ，垂直于OM1，方向向下 。,M1,定系固连于机座。,例 题 8-10,8.3 点的加速度合成定理,科氏加速度aC:,可得M1点的绝对加速度,指向轮心O。,应用加速度合成定理,例 题 8-10,8.3 点的加速度合成定理,M1,2. 计算M2点的加速度。,动系Axy，固连于框架。,动点圆盘上的M2点。,相对速度 v2r 1R ，垂直于OM2，沿M2点切 线水平向外 。,M2,定系固连于机座。,例 题 8-10,8.3 点的加速度合成定理,M1,v2r,M2,与铅直线的夹角,牵连加速度ae:,可得M2点的绝对加速度,应用加速度合成定理,例 题 8-10,8.3 点的加速度合成定理,
