1、第五节典型例题 n阶行列式的计算是学习线性代数的基础 在以后的各章中都要用到它 这里主要应该掌握的基本方法是 1 用n阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式 如上三角行列式等 来计算 2 用n阶行列式的展开定理 把行列式按某一行 列 展开 即化高阶行列式为低阶行列式来计算 Laplace定理 3 其他方法 对于具有特殊形式的行列式 有一些特殊的方法 递推 归纳 加边等 证明 用数学归纳法 证明范得蒙 Vandermonde 行列式 例1 1 n 1阶范德蒙行列式 注意 范德蒙行列式是等于零 a1 a2 an中至少有两元素相等 例2计算 利用范德蒙行列式计算行列式 应根据范德蒙行列式的特点 将
2、所给行列式化为范德蒙行列式 然后根据范德蒙行列式计算出结果 解 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由范德蒙行列式知 例3 计算n阶行列式 加边法 行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数 这种形式的行列式简称 两边加一对角线 行列式 它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值 所以 例4 计算n阶行列式 解 将左上角的x改写为 x a a 第一列的 a 均改写为0 a 于是第一列各元素均为两项之和 于是 即 1 利用类似的方法 可得 2 故从式 1 与 2 中可以消去Dn 1 例5 计算n阶行列式 解法1 化为三角行列式 此题的特点与 2例6相同 把各行都加到第一行上 然后提出公因式x n 1 a 得 a a a 解法2 化为两边加一对角线行列式 1 1 1 加边法 将Dn添加一行 一列 构成n 1阶行列式 解法3 1 1 1 把行列式的第2 3 n 1列分别提出公因子x a 得 解法4 递推法 将Dn的第一列元素都写成两个元素之和 然后将Dn拆成两个n阶行列式的和 再利用递推关系 例6计算行列式 解 此类型行列式称为三对角线型 常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法 n 1 例7用行列式定义计算 解
