1、2 输入-输出模型与传递函数,什么是系统? 自然界中,任何实体都存在于一个特定的环境中。实体和环境的关系包括两方面：环境对实体的作用与实体对环境的反作用。如下图所示。,表示环境对实体的输入， 表示实体对环境的输出。,实体及 和 就构成了一个系统。,2.1 线性系统的输入输出微分方程,系统的数学模型 描述系统的输入与输出之间变化关系的式子。对于一个线性系统，其数学模型一般用一个线性常系数微分方程来表示。,左图 所示为一机械系统示意图。此系统由弹簧、质量和阻尼器组成。系统的输入量为外力 ，输出量为质量的位移 。 由牛顿定律， ，其中 为质量； 为位移加速度； 为作用于 上的力，包括外力 、弹簧的恢
2、复力 , 和与速度 成正比的阻力 。由此得出 与 所满足的微分方程为：,显然它是一个常系数微分方程。,今后我们所研究的系统，通常都可用如下的一个线性常微分方程来描述：,其中,线性系统及其特性 线性系统满足叠加原理。叠加原理有两重含义：可加性与齐次性。,齐次性,可加性,叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和（可加性），且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。（齐次性） 因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用
3、在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。,2.2 线性系统的传递函数与卷积定理,对线性系统输入输出方程,两边求拉氏变换得：,其中：,（1）,简记（1）式为：,和 都是由初值所确定的。由于这些初始值有很大的随意性，与系统的本性无关，因此可令它们全为零，即,所以在零初始条件下， 与 之间满足,其中,称 为系统（1）的传递函数,由传递函数的定义可知，微分方程和其传递函数是一一对应的，而且从其中任一形式能方便地写出另一形式。,例1,写出 的传递函数。,写出 对应的微分方程。,1),2),解:1)两边取拉氏变换,并利用零初始条件得:,得,2),由于 L -1 =1,肪冲响应,在零初始条件
4、下,线性系统对单位脉冲输入信号的输出响应,称为该系统的肪冲响应.,这表明,传递函数的拉氏逆变换即为系统的脉冲响应(用 表示).即:,L -1 ,线性系统的传递函数与其脉冲响应就系统的外部动态特性来说,它们包含的信息是相同的.反映在时间域上,就是:,卷积定理,在零初始条件下,系统的任一输入 与相应的输出 之间有如下关系:,由拉氏变换的卷积公式很容易得到这个结果.,(2),具体使用(2)式时,必须注意是否满足零初始条件这一前提。其中 的零初始条件可认为成立（系统从静止状态开始）；而 是一给定信号，不一定满足,但m=1时，（1）式的解与 的初值无关，否则，必须有上述 的初值为零作为(2)式成立的保证
5、。,阶跃响应,即系统(1)由静止开始,由单位价跃输入相对应的输出响应，记为,由于 L -1 =1/s,当系统（1）中m=1,有：,或,故得：,（3）,若以 直接代入卷积公式（2），得：,（4）,（3）、（4）即为脉冲响应与阶跃响应间的关系式。如果,因 ，上述关系一般不成立。,由（2）知，知道了 ,则系统的动态行为特征就清楚了。但对于很多惯性大而灵敏度小的系统，直接进行脉冲响应测试是较困难的。这时可改而进行阶跃响应测试。由于阶跃输入作用是持久存在的，所以较易得到 。然后利用关系式(3),就可间接得到,Example,设一系统的输入输出微分方程为,1） 求其脉冲响应 ;,2） 当 时，求与之对应的
6、输出 。,解 1) 系统的传递函数为：,所以,L -1,L -1 =,2）由于 卷积定理的条件满足。在,的假设下，得：,如何求本例的阶跃响应？,所以无法用卷积公式。,在,两侧取拉氏变换得：,在 的假设下，并将 代入，上式变为,L -1 = L -1,2.3 组合系统的传递函数,一个系统往往由两个或两个以上子系统按某种方式连接而成，称之为组合系统。组合方式有串联、并联和反馈三种连接方式。,串联组合,设两个系统的传递函数分别为,如图所示, 子系统 和 串联连接。子系统 的输出 作为子系统 的输入;子系统 的输入 和子系统 的输出 分别是整个组合系统的输入和输出。虚线框内是串联组合系统.,由于,因此，组合系统的传递函数为,一般地，如图所示的由 个子系统串联而成的组合系统的传递函数为,并联组合,图示为一并联组合系统。 同时输入作用于 和 ,分别得输出响应 和 。它们的和 为组合系统的输出。,由于,所以,即并联组合系统传递函数为,一般地，由 个子系统 并联组成的组合系统传递函数为：,反馈组合,如图为反馈组合。 为前向子系统， 为反馈子系统。,由于,得,所以（负）反馈组合系统传递函数为：,Example,如图,求此反馈系统的:,1) 脉冲响应;,2) 阶跃响应;,3),的响应.,解:,1) 脉冲响应,L -1 =,L -1 ,= L -1 =,2) 由于m=0,所以,由卷积定理,阶跃响应,
