1、第3章 连续时间信号与系统的频域分析,3.1 周期信号的傅里叶级数3.2 周期信号的频谱3.3 非周期信号的傅里叶变换3.4 傅里叶变换的基本性质3.5 周期信号的傅里叶变换3.6 频域系统函数3.7 连续系统的频域分析3.8 抽样定理,本章学习目标,通过本章的学习，应达到以下要求：（1）掌握周期信号和非周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。（3）熟悉系统函数和频域分析法。（4）掌握抽样定理。（5）了解信号无失真传输和信号通过理想滤波器的概念。,3.1 周期信号的傅里叶级数,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数3.1.2 指数形式的傅里叶级数,返回首页,3.1
2、.1 三角函数形式的傅里叶级数,若一个连续时间信号f(t)是周期的，则它可以表示为：,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数,当f(t) 满足狄里赫利条件时，周期信号f(t) 才能展开成傅里叶级数。,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数,傅里叶系数：,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数,三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：例3-2,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数, 狄里赫利（Dirichlet）条件是：（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号满足绝对可积。,返回本节,3.1.2 指数形式的傅
3、里叶级数,欧拉公式：,3.2 周期信号的频谱,3.2.1 周期信号的频谱3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度,返回首页,3.2.1 周期信号的频谱,1单边频谱 2双边频谱,1单边频谱,若周期信号 的傅里叶展开式为：,1单边频谱,对应的幅度频谱 和相位频谱 称为单边频谱。,（a）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱,周期信号的单边频谱,2双边频谱,若 周期信号的傅里叶展开式为：,（a）双边幅度频谱,（b）双边相位频谱图3-4 周期信号的双边频谱,3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度,1周期信号频谱的特点2周期信号的频带宽度3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点,1周期信号频谱的特点,（1）离散
4、性。（2）谐波性。（3）收敛性。,2周期信号的频带宽度,周期矩形脉冲信号的波形,2周期信号的频带宽度,若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级数，则,( a),(b),不同值下周期矩形脉冲信号的频谱,3典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点,返回本节,3.3 非周期信号的傅里叶变换,3.3.1 傅里叶变换3.3.2 非周期信号的频谱3.3.3 典型信号的傅里叶变换,返回首页,3.3.1 傅里叶变换,1从傅里叶级数到傅里叶变换 2傅里叶变换存在的条件,1从傅里叶级数到傅里叶变换,1从傅里叶级数到傅里叶变换,2傅里叶变换存在的条件,傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。一般来说，傅里叶变换存在的充
5、分条件是：,返回本节,3.3.2 非周期信号的频谱,（a）幅度频谱 （b）相位频谱 非周期信号的频谱,返回本节,3.3.3 典型信号的傅里叶变换,1门函数（矩形脉冲）2单边指数函数3单位冲激函数4直流信号5单位阶跃函数,1门函数（矩形脉冲）,1门函数（矩形脉冲）,（a）门函数 （b）门函数的频谱,门函数及其频谱,2单边指数函数,单边指数函数的表示式为：,频谱函数为：,2单边指数函数,即：,其幅度频谱和相位频谱分别为：,（a）单边指数函数,（b）单边指数函数的频谱,单边指数函数及其频谱,3单位冲激函数,根据傅里叶变换的定义，并应用单位冲激函数的抽样性质，得：,即：,（a）单位冲激函数 （b）单位
6、冲激函数的频谱,单位冲激函数及其频谱,4直流信号,设直流信号：,它不满足绝对可积条件，因此不能用傅里叶积分式求傅里叶变换。但由傅里叶反变换式可以求得冲激函数在时域的原函数为：,即：,（a）直流信号 （b）直流信号的频谱,直流信号及其频谱,5单位阶跃函数,单位阶跃函数表示为：,显然，它不满足绝对可积条件，但可以采用取极限的方法求出它的傅里叶变换。,（a）单位阶跃函数 （b）单位阶跃函数的频谱,单位阶跃函数及其频谱,表3-3 典型信号的傅里叶变换及频谱图,续表,返回本节,3.4 傅里叶变换的基本性质,3.4.1 线性3.4.2 对称性3.4.3 尺度变换3.4.4 时移特性3.4.5 频移特性3.
7、4.6 卷积定理3.4.7 时域微分和时域积分3.4.8 频域微分和频域积分,返回首页,3.4.1 线性,若 ， ，则,返回本节,3.4.2 对称性,若 ，则：,证明 由傅里叶反变换式得：,即：,（a）门函数及其频谱,（b）抽样函数及其频谱,返回本节,3.4.3 尺度变换,若 ，则：,若a0，f(t)被压缩；若0a1，f(t)被展宽。如果a0，则f(t)被反褶并被压缩或被展宽。,（a）,（b）,（c）,尺度变换性质的说明,返回本节,3.4.4 时移特性,若 ，则：,为常数。,例：,3.4.5 频移特性,若 ，则：,为常数。,信号若在时域乘以因子，则对应于频域其频谱沿轴搬移。,同理可得：,（a）
8、门函数及其频谱,（b）高频脉冲信号及其频谱,高频脉冲信号的频谱,返回本节,3.4.6 卷积定理,1时域卷积定理,若 ， ，则：,例 3-16,（a）时域卷积运算,（b）频域相乘运算,例图,3.4.6 卷积定理,2频域卷积定理若 则：,例 3-18,（a）时域相乘运算,（b）频域卷积运算,例图,返回本节,3.4.7 时域微分和时域积分,1时域微分若 ，则：,推广到n阶导数有：,1时域微分若 ，则：,（a）原信号 （b）原信号的一阶导数 （c）原信号的二阶导数 例图,（a）原信号 （b）恒定分量 （c）时限信号 例 图,3.4.7 时域微分和时域积分,2时域积分若 ，则：,（a）门函数 （b）门函
9、数的积分 例图,返回本节,3.4.7 时域微分和时域积分,3.4.8 频域微分和频域积分,1频域微分若 ，则：,推广到n阶导数有：,2频域积分若 ，则,3.4.8 频域微分和频域积分,表3-4 傅里叶变换的主要性质,返回本节,3.5 周期信号的傅里叶变换,返回首页,3.5 周期信号的傅里叶变换,根据频移特性：,3.5 周期信号的傅里叶变换,所以：,（a）周期单位冲激序列 （b）周期单位冲激序列的频谱 图3-24 例3-14图,（a）周期矩形脉冲 （b）周期矩形脉冲的频谱 图3-25 例3-15图,返回本节,3.6 频域系统函数,3.6.1 系统函数的定义3.6.2 系统函数的求解方法,返回首页
10、,3.6.1 系统函数的定义,为系统函数，或称系统频率响应。,3.6.2 系统函数的求解方法,（1）当给定激励和零状态响应时，根据定义 求解 （2）当已知系统的单位冲激响应h(t)时，由其傅里叶变换求解，即,3.6.2 系统函数的求解方法,（3）当给定系统电路模型时，根据电路理论的基本定理和基本分析方法（诸如叠加定理、戴维南定理、网孔分析法及节点分析法等），用相量法求解。（4）当给定系统的微分方程时，对其取傅里叶变换，再求得 。,图3-28 例3-16图,图3-29 例3-16的频率特性,图3-30 例3-16的频域模型,返回本节,3.7 连续系统的频域分析,3.7.1 复指数信号的响应3.7
11、.2 非正弦周期信号的响应3.7.3 非周期信号的响应3.7.4 无失真传输及其条件3.7.5 理想低通滤波器及其响应,返回首页,3.7.1 复指数信号的响应,对于LTI系统，若有单位冲激响应h(t)信号为：,则根据时域分析可知，系统的零状态响应为：,返回本节,3.7.2 非正弦周期信号的响应,1频域分析法2相量法,1频域分析法,对于周期为t1正弦周期信号x(t)展开为：,2相量法,对于周期为t1的非正弦周期信号x(t)，还可以展开为：,（a）周期方波信号 （b）RC电路 图3-31 例3-17图,返回本节,3.7.3 非周期信号的响应,1连续时间LTI系统零状态响应的频域求解 2电网络的频域
12、求解,1连续时间LTI系统零状态响应的频域求解,通常LTI系统激励与响应的关系可以用常系数线性微分方程来描述。通过对微分方程取傅里叶变换，则可以将时域微分方程的求解转变为频域代数方程的求解，即,2电网络的频域求解,电网络是由放大器、加法器、电阻、电容和电感等线性单元电路和器件组成的。运用电路分析中的相量法，通过电网络的频域电路模型可以很方便地得出激励与响应的频域关系式，即 通过部分分式展开法求出响应的时域解。,（a）矩形脉冲信号 （b）RC电路 图3-32 例3-20图,（a）矩形脉冲信号及其幅频特性曲线,（b）RC低通电路的冲激响应及其幅频特性曲线,（c）RC低通电路的响应及其幅频特性曲线
13、图3-33 矩形脉冲信号通过RC低通电路,返回本节,3.7.4 无失真传输及其条件,1时域无失真传输的条件无失真传输是指线性系统输出响应y(t)的波形与输入激励x(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，时间前后有所差异，即：,图3-34 LTI系统的无失真传输,2频域无失真传输的条件,对式（3-73）两边取傅里叶变换，并利用时移特性，可得,所以无失真传输系统的系统函数为：,2频域无失真传输的条件,由此可得，系统无失真传输的条件为：,无失真传输系统的频谱特性,（a）原信号 （b）幅度失真 （c）相位失真 图3-36 信号的幅度失真和相位失真,（a）时域电路模型 （b）频域电路模型 图3-37
14、例3-21图,返回本节,3.7.5 理想低通滤波器及其响应,1理想低通滤波器的冲激响应2理想低通滤波器的阶跃响应,1理想低通滤波器的冲激响应,由于系统函数 为系统冲激响应h(t)的傅里叶变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应为：,图3-39 理想低通滤波器的冲激响应,2理想低通滤波器的阶跃响应,若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信号u(t)，则其响应为阶跃响应g(t)。根据时域分析可知，阶跃响应g(t)可以通过对冲激响应的积分而得到，即：,图3-40 理想低通滤波器的阶跃响应,返回本节,3.8 抽样定理,3.8.1 连续信号的时域抽样定理3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号,返回首页,3.8
15、.1 连续信号的时域抽样定理,1信号的抽样 2抽样定理,1信号的抽样,连续时间信号f(t)抽样的工作原理如图3-41所示。,图3-41 信号的抽样,抽样器相当于一个定时开关，它每隔一个周期ts闭合一次，每次闭合时间为t，从而得到样值信号fs(t)。,图3-42 抽样开关信号,图3-43 抽样模型,2抽样定理,图3-44 理想抽样,（a）信号及其频谱,（b）信号及其频谱,（c）抽样信号及其频谱 理想抽样与频谱分析,返回本节,3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号,信号在抽样时必须满足抽样定理的条件是,3.8.2 从抽样信号恢复连续时间信号,从频域的角度上讲，滤波器输出的频谱为：,图3-46 抽样
16、信号频谱的混叠现象,图3-47 理想低通滤波器的频率特性,图3-48 由抽样信号的频谱过滤出原信号的频谱,图3-49 由抽样信号恢复原信号,返回本节,本章小结,（1）任意连续的周期信号在满足狄里赫利条件下，都可以展开为傅里叶级数。 （2）非周期信号在满足绝对可积条件下，可以看作无限多个幅度无限小的复指数谐波之和，而其中每一个谐波分量的复振幅为 （3）傅里叶变换的性质更进一步地揭示了信号在产生、传输及处理的过程中，时域特性与频域特性的内在关系，从而奠定了信号与系统的理论基础。,（4）系统函数等于系统零状态响应的频谱函数与系统输入激励的频谱函数之比。它取决于系统自身的结构及组成系统元件的参数，反映了系统在频域中的固有传输特性。（5）频域分析法把系统的激励和响应关系应用傅里叶变换从时域变换到频域 。（6）系统的无失真传输和滤波从理想系统频率特性的角度研究并分析了系统的特性，得出了重要的结论，即无失真传输的条件及系统通频带宽度。（7）抽样定理从理论上解决了对连续时间信号进行抽样后仍然能够保持原有携带信息不发生改变这一重要问题，成为现代通信技术的理论基础。,
