1、2.3.1 双曲线及其标准方程如图2-23，定点是两个按钉，是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由是同一常数，可以画出另一支来源:学_科_网(一）双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的 等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 反思：设常数为 ，为什么？时，轨迹是 ；时，轨迹 ; 若去掉绝对值，点的轨迹是 ;当2a=2c时，点的轨迹为_；当a=0时，点的轨迹是 .练习：点，若，则点的轨迹是 （2） 双曲线的标准方程：焦点在轴上的双曲线的标准方程，其焦点坐标为，焦点在轴上的双曲线的标准方程 标准
2、方程不同点图像焦点坐标相同点定 义a、b、c的关系焦点位置的判断（三）归纳总结填表并与椭圆进行比较（四）双曲线的标准方程的应用例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在轴上，；（2）焦点为，且经过点；（3）(4)经过两点，.例2、（1）双曲线的一个焦点坐标是（-2，0），求m的值.（2）已知双曲线有相同的焦点，求m的值.例3、若曲线；（2）椭圆；（3）双曲线。分别求出满足上述条件的实数的取值范围。例4、已知双曲线C的方程是（1）求双曲线C的焦点坐标； （2）如果双曲线C上一点P与焦点F1的距离等于8，求点P到焦点F2的距离.例5、如图，双曲线，其焦点为，过作直线交双曲线的左支于两点
3、，且，则的周长为 。例6、设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求的面积.练习：1. 求2.设是双曲线左右两个焦点，P是双曲线左支上的点，已知成等差数列，且公差大于0，则=_.3. 已知为双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果，求的面积.4. 已知双曲线的方程是，设 是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且 =32，求.例7、点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们斜率之积是，试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状 练习：已知圆:和圆:，动圆M同时与圆及圆相外切，求动圆圆M轨迹方程。 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)类比椭圆的几何性质，得出双曲线的几何性质，填表：标准方程图形性质焦
4、点坐标焦距范围对称性顶点坐标实轴虚轴离心率渐近线顶点到渐近线的距离焦点到渐近线的距离|PF1|的范围（F1左焦点）注：1.与双曲线有相同的渐近线方程的双曲线系方程为： 2.双曲线的渐近线方程是，或，则可设双曲线方程为 练习：“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的 条件.3.双曲线的离心率用来表示为 双曲线的离心率可以刻画双曲线开口的大小：双曲线的离心率越大，它的开口就越大双曲线的离心率越大，它的开口就越小4.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线等轴双曲线的渐近线方程为 ；且两条渐近线互相 ；离心率为_；可设等轴双曲线的方程为 .例1、求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心
5、率及渐近线的方程并求焦点到渐近线的距离例2、在下列条件下，求双曲线的标准方程：(1) 实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2) 离心率，经过点； (3) 渐近线方程为，经过点；(4) 求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程；(5) 以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；(6) 与椭圆共焦点，渐近线方程为的双曲线方程；(7) 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程.例3、已知双曲线（）的离心率.若顶点到渐近线的距离为，求双曲线的方程；若焦点到渐近线的距离为，求双曲线的方程.例4、求双曲线的离心率（1）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2=12
6、0，求双曲线的离心率.（2）若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率.(3)双曲线的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作等边，双曲线恰好平分两边，求其离心率.(4)设双曲线的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率。变式：若ba0，双曲线的离心率为 , 若ab0，双曲线的离心率为 (5) 双曲线的右焦点为F，焦距为2c，左顶点为A，虚轴的上端点为B（0,b）,若，求该双曲线的离心率。(6)已知双曲线点P在双曲线的右支上，且，求双曲线的离心率e的取值范围。(7)已知F1,F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过点F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若，该
7、双曲线的离心率 若是锐角三角形，求该双曲线离心率的取值范围。 练习：1.曲线与曲线的 （ ）A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对2.设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 3.已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率e是 4.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为 例5、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹书本双曲线的第二定义： 到一个定点的距离和它到定直线的距离之比是常数（大于1）的点
8、的轨迹是双曲线 对于双曲线，相应与焦点（，0）的准线方程是，相应与焦点（，0）的准线方程是； 对于双曲线，相应与焦点（0，）的准线方程是，相应与焦点（0，）的准线方程是；练习：1.若双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是8，那么点P到右准线的距离是 ;P到左准线的距离是 2.设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标. 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线，双曲线联立解得若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，直线与双曲线相交，有两个交点；直线与双曲线相切，有一个交点；直线与双曲线相离，无交点；直线与双
9、曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。设，则弦长公式为：则若联立消去得的一元二次方程：设，则焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。例1、过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标及并求的周长.变式：过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若=2，则直线有 条；若=3，则直线有 条；若=4，则直线有 条；若=5，则直线有 条
10、；例2、过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。例3、直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？例4、已知双曲线（1） 经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、两点，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。（2） 将改成，又如何呢？（3） 若直线与双曲线交于两点（），为弦的中点，记直线的斜率为，求证：为定值.（4） 若双曲线上存在两点关于直线对称，求实数的范围.练习：求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。例5、已知直线与双曲线交于两点（1）若以为直径的圆过坐标原点，求实数
11、的值（2）是否存在这样的实数，使两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.练习：1.设A、B分别是双曲线1(a，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线yx2与双曲线的右支交于D、E两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得，求m的值及点C的坐标.2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程 （）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围3.已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m ；（III）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.
