1、 中高考 找才子 始建于1998年 第70讲 函数问题选讲本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方程、不等式、数列等问题。A类例题例1 如果在区间1，2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，求f(x)在该区间上的最大值(1996年全国高中数学联赛)解 由于g(x)= x+=x+x+3=当且仅当x=，即x=时等号成立由于1，2，故x=时g(x)取得最小值因为f(x)=x2+px+q=，所以=且 =，解得p=2，q=+由于1 0时， 0 f（x）1 0 f ( 1 ) 1，故， f ( 0 )1又f ( 0 )f（xx）f（x）f（x）1
2、，设x 0， 0 f（x）1，从而 （2）设x1 x2，则x1x21因为 f（x1）f （x1x2）x2 f（x1x2）f（x2） f（x2），( f（x2） 0 )所以f（x）为R上的减函数 （3）由f（x2）f（y2）f（1）得f（x2y2）f ( 1）， 又f（x）为R上的减函数， x2y2 1 由f（axy2）1得axy20AB ，直线axy20与圆x2y21相切或相离故， 例5 已知函数（1）证明：函数的图象关于点（a，1）成中心对称；（2）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，在上述构造数列的过程中，如果（i2，3，4，）在定义域中，构造数列的过程将继续下去
3、；如果不在定义域中，构造数列的过程停止如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值（1）证明 设点P（，）是函数图象上一点，则，与点P关于（a，1）的对称点P（2ax0，2y0），因为，所以，即点在函数的图象上，故函数的图象关于点（a，1）成中心对称（2）解 根据题意，只需xa时，有解，即有解，即有不等于a的解所以 由得a3或a1，而当时，。综上a3或a1根据题意，应满足时无解，即时无解由于不是方程的解所以对于任意，无解所以a1例6 求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0，恒有（x+3+2sincos)
4、2+(x+asin+acos)2 (1996年全国高中数学联赛)解 令sin+cos=u，则2sincos=u21，当0，时，u1，记f(x)= (x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2则f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2x+(u2+au+2)2+(u2au+2)2所以x=(u2+au+2)时，f(x)取得最小值(u2au+2)2所以u2au+2，或u2au+2所以 au+，或au+当u1，时，u+，；u+，所以 a或a情景再现4函数f(x)是奇函数的充要条件是 。(湖南省2002年高中数学竞赛)5已知
5、函数f(x)(1x+)，x2，4求该函数的值域。(2002年上海市高中数学竞赛)6设aN，a2，集合Ay|yax，xN，By|y(a1)xb，xN，在闭区间1，a上是否存在b，使AB，如果存在，求出b的一切可能值及相应的AB；如果不存在，试说明理由(安徽省2002年高中数学竞赛题)C类例题例7 对于给定的常数，试求函数（）的最大值。（1996年江苏省数学竞赛）解法一 ，其中等号成立当且仅当，即时，。解法二 构造如图所示的直角梯形ABCD，则 。因为，所以，即，当且仅当，即时成立。因此时，。说明 利用勾股定理，两点间得距离公式构造几何图形去解决一些代数问题是一种常用手段。例8 对于正整数a，n，
6、定义Fn(a)=q+r，其中q，r为非负整数，a=qn+r，且0rn，求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意正整数aA，都有=1证明你的结论（1998年全国高中数学联赛）分析 将满足条件“存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，nk，对于任意的正整数aB，都有”的最大正整数B记为xk。问题转化为研究xk，xk+1之间的递推关系。本题所求的最大正整数A即为x6。解 先证x1=2。事实上，F2(1)=F2(2)=1，所以x12。又当n13时，=2，而F2（3)=F1(2)=2，所以x10，n11，于是0(q1)n1+n11=qn11xk+1，因此(q1)n1+
7、n11)=q+n12xk.，故有 q(n11)()2()2=。由于xk为偶数，从而q(n11)。因为xk2，所以xk+xk+2，所以总有 xk+1xk+=另一方面，若取n1=+2，由于=，对于每个a，令a=qn1+r，那么或者q=，r；或者q1，rn11=+1。两种情况下均有q+rxk，因此xk+1=。此外，因为xk为偶数。若4|xk，由2|xk+6可得8|xk(xk+6)；若xk2(mod4)，由xk+60(mod 4)也可得8|xk(xk+6)因此xk+1也是偶数。由数学归纳证明，有xk+1=。由x1=2逐次递推出x2=4，x3=10，x4=40，x5=460，x6=53590。即所求最大
8、整数A=53590。情景再现7设正实数x，y满足xy=1，求函数的值域（其中x表示不超过x的最大整数。习题131对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是（ ） A B C D(1992年全国高中数学联赛)2若偶函数f(x)在(0，+)上是增函数，设a=f(loge)，b=f(log)，c=f(log)，则a，b，c的大小关系是( ) Acba Bbac Ccab Dab0的是( ) (1984年全国高中数学联赛)4已知函数f(x)x22bx1和g(x
9、)2a(xb)，其中x，a，b均为实数使yf(x)和yg(x)在xOy平面上的图象不相交的实数对(a，b)组成点集A，那么A在aOb平面上的图形S的面积为 。(安徽省2002年高中数学竞赛题)5函数f(x)=2+的值域是 。(合肥市1994年高中数学竞赛)6设实数满足，则的最小值为 。7设实数满足条件，其中，求的是最大值。（2005年四川省数学竞赛题）8对每一对实数对x，y，函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1若f(2)2，试求满足f(a)a的整数a的个数(广西省1999年高中数学竞赛)9设函数f：0，1R满足 f(x)0，对于x0，1； f(1)=1； f(x)+f(y)f(x+
10、y)，x、y，x+y0，1。求出最小的常数c，使f(x)cx对一切满足上述条件的函数f及一切x0，1都成立证明你的结论(1993年第二十二届美国数学奥林匹克)本节“情景再现”解答：1解：令=cosq (0)，则=sin于是y=sin+cos=sin(+)1，所以函数y=的值域是值域为1，2解：方法一：设，则不等式的解集为，所以2，是方程的两根，即解得，b=36。方法二：设， 由不等式的解集是（4，b），可得两函数在同一坐标系中的图象。 设两函数图象的交点为A，B，则，所以，。解得，b=36。3解：由，得，于是，又，有，所以。由，得，所以，又，所以。故选D。4解：由=得|xa|xa|2a0反之当
11、a0时，y=的定义域为a，0)(0，a；此时，y=；所以 f(x)f(x)，函数为奇函数所以所求条件为a05解：yf(x)=( +)令=tan，(为四象限角)，则y可看作图中直线AQ到AP的斜率的一半的变化范围，即以x2及x4代入可得所求函数的值域为，或用分子有理化，解决单调性6解：设存在m，nN，使am(a1)nb(1ba)，所以(a1)namb，即f(a)amb能被a1整除因为f(1)(1)mb所以当m为正偶数时b1；当m为奇数时，b1(a1)a综上可知，满足要求的b存在，其值为b1及a当b1时，ABy|ya2k，kN；当ba时，ABy|ya2k1，kN7解：不妨设，则，有下面两种情形：（
12、1）当x=1时，y=1，此时（2）当x1时，设x=n，x=xx=，则x=n，于是，故y=0，因为函数在1，）上单调递增，且，所以， 所以 设， 由于， 所以当1时，有， ， 于是当x1时，函数的值域为，即综上所述，函数的值域为习题”解答：1解：由y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 =(n+1)x1)(nx1)，得|AnBn|=，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=。选B2解：a=f(loge)= f(loge)= f(loge)；b=f(loge)= f(loge)；c=f(log)= f(2loge)因为0 loge1 loge22loge，于是bac，故选B
13、3解：当0xy2x0；当x1时，得y2x1选D4解：取x22bx12ax2ab，所以x22(ba)x12ab0，由4(ba)24(12ab)0，得a2b20，则f(n1)n1f(n)1f(n)故当n2时，f(n) n成立又f(3)f(2)f(1)212231；f(4)f(3)f(1)311f(n1)f(n)f(1)n1f(n)n1，若f(n)0，f(n1)0，故对于n4，f(n)0所以只有a1，29解：由f(x)0，知f(x)f(x)+f(y)f(x+y)，x、y，x+y0，1即函数f(x)非严格递增令y=x，得2f(x)f(2x)，(0x)若0x，则22f(x)2f(2x)f(22x)一般的，若对于x0，1，必有自然数n，使x，则可得2nf(x)f(2nx)f(1)2n+1x，即得f(x)2x而f(0)+f(1)f(1)=1，即f(0)+11，但f(0)0，故f(0)=0，即f(0)2f(0)于是对于x0，1，f(x)2x成立即c2再说明c不能比2小为此构造函数f(x)= 此函数满足、，若x、y，x+y0，1，不妨设xy，则0x，故f(x)+f(y)=f(y)f(x)+f(y)即此函数也满足对这个函数，若1ccx若0c1，此时取x(，1)，仍有f(x)=1，而cxxcx故c2综上可知，c=218
