1、第一章统计8最小二乘估计第6页共6页学习目标1.了解最小二乘法.2.理解线性回归方程的求法.3.掌握线性回归方程的意义.寻知很梳理自主学习知识点一最小二乘法1 .定义 如果有n个点(XI, y1)，(X2, 丫2), , , (Xn, yn),可以用下面的表达式刻画这些点与直线y= a+ bx的接近程度y1一 (a+bxQ 2+ 丫2 (a+bx2) 2+, + yn(a+bxn) 2.使得上式达到最小值的直线 y = a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.2 .应用 利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系, 可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如
2、果散点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利 用其他的工具进行拟合.知识点二回归直线的求法1 .回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相 先关系，这条直线叫做回归直线.2 .回归方程与最小二乘法AAA我们用yyi刻画实际观察值yi(i = 1,2, , , n)与yi的偏离程度，yi-yi越小，偏离越小，直A线就越贴近已知点.我们希望yi yi的n个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直A线是最贴近已知点的.由于把yi yi这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Qqeabxi)2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q取最
3、小值的那一条.因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘 法.用最小二乘法求回归方程中的 a, b有下面的公式n xiyi n x yi = 1,n, 22“ Xi n xi = 1其中x =x, ki一 1.n.y=ni *.这样，回归方程的斜率为 b,截距为a,即回归方程为y=bx+a.思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？答用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系 判断），否则求出的回归方程是无意义的.（可利用散点图重点突破题型一变量间相关关系的判断例1某种产品的广告费支出x（单位 百万元）与销售额y（单位 百万元）之间有如下对应
4、数据x24y3040568605070画出散点图；（2）求回归方程.解（1）散点图如图所示.h it ：Uk -T I ：1 I i!| 叮也（2）列出下表，并用学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi601603003005602 xi416253664于是可得,啊一5 x ya i = 1b=5Zx2-5213805X 5X501455X 526.5,i=1a= y b x =50 6.5 X 5=17.5.a于是所求的回归方程是 y= 6.5x+ 17.5.反思与感悟1.求回归方程的步骤(1)列表 xi, yi, xiyi.(2)计算 x , y
5、, Zx2, Zy2,Zxiyi.i= 1 i= 1 i= 1(3)代入公式计算b, a的值.(4)写出回归方程y=a+bx.2.求回归方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断.跟踪训练1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据x681012y2356已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程.解 V = 6+8+10+12 =9, 7 = 2 + 3+5+6 = 4, 4 44Ex2 = 62 + 82+ 102+ 122 = 344, i 14)iyi=6X2+ 8X3+10X5+12X6=158,b=158
6、 4X 9X4344 4 X 8114 “ =0.720a= y - b x =40.7X 9= 2.3.则所求的线性回归方程为y= 0.7x-2.3.题型二利用线性回归方程对总体进行估计例2 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得 到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表摄氏温度/C-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是 2C,预测这天卖出的热饮杯数.解（1）散点图如图所示刀毗，1；匕,
7、nr*I jij i n4 hMr* *：i7il*Mi书4-H -il- Hi 荀G 悔一、.=（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温越高，卖出去的热饮杯 数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程V= 2. 2.352x+ 147.772.（4）当x=2时，y= 143.068.因此，某天的气温为 2c时，这天大约可以卖出143杯热饮.反思与感悟用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是（1）把数据列成表格；（2）作散点图；（3）判断是否线性相关；（4）若线性相关，求出系数b, a的值（一
8、般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算）；（5）写出回归直线方程 y=a+bx.跟踪训练2 2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表年收入x（万元）24466677810年饮食支出y（万元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3（1）如果已知y与x是线性相关的，求线性回归方程;（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.（参考数据 Exiyi= 117.7, 10x2=406） i=1i= 1解（1）依题意可11算得x =6, 7=1.83, x2=36,1010 2xy =10.98,又 ZjXiyi= 11
9、7.7, xi =406,10_Zxiyi -10 xyi=1，b=0.17, a= 7-bT = 0.81 ,10_% x2 107 2i=1，y=0.17x+0.81.所求的线性回归方程为y=0.17x+ 0.81.（2）当 x=9 时,y= 0.17X 9+0.81 = 2.34.可估计大多数年收入为 9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元.尹当堂检测自查自纠1 .炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有（）A.确定性关系B.相关关系C.函数关系D.无任何关系答案 B解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关 系.2,设有一个回归方程为 y= 1.5x+ 2,
10、则变量x增加一个单位时（）A. y平均增加1.5个单位 B. y平均增加2个单位C. y平均减少1.5个单位 D. y平均减少2个单位答案 C解析二.两个变量线性负相关，变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位.3 .某商品的销售量y（单位 件）与销售价格 x（单位 元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A.y=- 10x+200B.y=10x+200C.y=- 10x-200D.y= 10x-200答案 A解析 结合图象（图略），知选项B, D为正相关，选项 C不符合实际意义，只有选项A正确.4 .设某大学的女生体重y(单位 g)与身高x(单位cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(Xi
11、, yi)(i=1,2, , n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x85.71,则下列结论中不正确的是()A. y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心 (X, 7)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加 0.85 gD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79 g答案 D解析 当 x=170 时，y=0.85X170 85.71= 58.79,体重的估计值为 58.79 g.5.正常情况下，年龄在 18岁到38岁的人，体重y( g)对身高x(cm)的回归方程为y=0.72x 58.2,张明同学(20岁)身高178cm,他的体重应该在 g左右
12、.答案 69.96解析 用回归方程对身高为178cm的人的体重进行预测，当 x= 178时，y= 0.72X178-58.2=69.96( g).课堂小结11 .判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可看出 两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关.2 .求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验.如果 两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归 方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.A AAA(2)用公式计算a、b的值时，要先算出b,然后才能算出a.3 .利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y=bx + a,则x = x0处的估计值为 yc= bxc+ a.
