1、精品资源课堂探究探究一利用导数判断或证明函数的单调性1 .利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性时，过程较为烦琐，但借助导数， 只需分析函数导数值的正负即可，因此应善于借助导数研究函数的单调性.2 .利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性.如果解析式中含有参数，应进行分类讨论.【典型例题1】(1)函数f(x)=2x + 1在下列哪个区间上是单调递减的()xA. (1,+8)B.j2, 1 ；C.0, 2 ； D. (-3,0)(2)证明函数f(x)=sin”在g,兀产单调递减.思路分析：(1)只需分析哪个区间
2、上的导数值恒小于0即可；(2)要证f(x)在g,兀；上单调递减，只需证明 f (x)0在区间5,兀恒成立即可.(1)解析:因为 f，(x) = 2 所以当 xC (0, 1 加,x2C 0, 1 ；,卜(4, +8).f (x) = 2 x20,这时f(x)在，1 4:单调递减，故选 C.答案：C一 一. sin x(2)证明：因为f(x) = 丁，x(sin x V x sin x fx xcos x sin x所以 f (x) = A一x25=x2.由于 xC 苴，兀 j,所以 cos x0,因此 xcos x sin x0,得单调递增区间；在定义域内解不等式f (x)0,即 6x2-6x
3、0.解得x1或xv 0;令 f (x)0,即 6x2-6x0,即一x2 0,得 0V xv e;1 In x令 f (x)0,即2e,x所以f(x)的单调递增区间是(0, e),单调递减区间是(e, +8). .1函数f(x)的定义域为(0,%且f (x) = 2sin x.，,一 1令 f (x)0,即 2 sin x 0,解得 0vx6 r x 兀；令 f (x)0,即 2 sin x 0,解得 6V x0时，f (x) = ex+a0恒成立，f(x)在R上单调递增；当 a0,得 ex- a,所以 xln ( - a),由 f (x) = ex + a 0,得 ex a,所以 x0时，f(
4、x)的单调递增区间是(一8,+8),无单调递减区间；当a0(或f (x)0(或f (x)v 0)是不够的，即还有可能f (x)=0也能使得f(x)在这个区间 上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.2 .已知函数f(x)是增函数(减函数)求函数解析式中参数的取值范围时，应令 f (x)0(f (x)W0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验参数的取值能否使f (x)恒等于零，若能恒等于零，则应舍去这个参数的值，若 f (x)不恒等于零，则其符合题意.3 .如果在函数解析式中不含参数，而在区间中含有参数，则可首先求出f(x)的单调区间，然后根据这一单调区间与给定区间的包含关系求出参数范
5、围.【典型例题3】(1)若函数f(x)=x+Tt在(0, +8)上单调递增，求 a的取值范围.(2)若函数f(x)=ax3 + 3x2-x+ 1在R上是减函数，求a的取值范围；2x(3)若函数f(x)=x27在区间(m，4m 1)上单倜递增，求头数 m的取值氾围.思路分析：对于(1)(2),可转化为f (x)0或f (x)W0恒成立问题求解，但要注意检验端点值是否符合要求；对于(3),可先求f(x)的单增区间，再令所给区间是其子集即可.解：(1)由于f (X)= -a?,所以一a20在(0, + oo)上恒成立.XXa即JW0恒成立.X又因为当xC(0, + 8)时，x20,所以a 0.但当a
6、=0时，f(x)=兀是常数函数，不符合题意.故a的取值范围是(一8 , 0).(2)f (x) = 3ax2+ 6x 1,依题意知 3ax2+ 6x K0 在 R 上恒成立.显然当a=0时不满足题意.a0,因此1解得aw 3.A= 36+ 12a0,得1vxv 1,即f(x)的单调递增区间是(-1,1),因此有4 4m- 1m,故m的取值范围是百点评 本例(3)中要特别注意不能遗漏条件4m 1 m.探究四函数图象与其导函数图象之间的关系在研究函数图象与其导函数图象之间的关系时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，重点分析其在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减，而对于其导函数的图象，则应确定哪
7、个区间上其函数值大于零，哪个区间上函数值小于零，从而得出原函数的单调区间.【典型例题4】已知函数y=f(x),其导函数y=f (x)的图象如图，则对原函数y=f(x), 下列说法正确的是()A. f(x)在(一,1)上单调递减B. f(x)在(1,3)上单调递增C. f(x)在(0,2)上单调递减D. f(x)在(3,4)上单调递减解析：由f (x)的图象可知，当xC(0,2)时，f1 (x)g(x),可构造函数(j)(x)= f(x)- g(x),只需证明 &x)在其定义域上满 足x)0即可，根据函数的单调性，借助于导数求解.【典型例题5已知x 1,求证：xln(1+x).分析：构造函数f(
8、x)= x- ln(1 + x),只要证明在 xC (1, + 8)上，f(x)0恒成立即可.证明：设 f(x)= xln(1 + x)(x 1).1 x (x)=1 下 =第(x 1), 当 x 1 时，f，(x)0, ,f(x)在1 , +8)上是增函数.又 f(1) = 1ln 21 In e = 0,即 f(1)0, 当x 1 时，f(x)0,故当 x1 时，xln(1 +x).探究六易错辨析易错点：忽视函数的定义域而出错【典型例题6】 求函数f(x)=2x2ln x的单调减区间.1 4x2 14x2 111错解：f (x) = 4x-x=-x,令一xV0,彳导x 5或0Vx2.所以函数f(x)的单调减区间为8, -2 ,! ip, 1 ,.错因分析：错解未注意函数的定义域.正解：函数f(x)的定义域为(0, +8).4x2 14x2 1又 f (x)=1,令二0， xx1 ,、1得 xv 2或 0V x0,，f(x)的单调减区间为 ，2 J.欢迎下载
