1、精品资源欢迎下载课堂导学三点剖析一，等式证明例11+1n(n 1)(n 2)1求实数a,使下面等式对一切自然数nC N +都成立：一1一 +1 2 3 2 3 42n an4(n 1)(n 2)e -, , ,1a 7思路分析：当n=1时，左式=1,右式=a 1 |64 2 3,a 11 /目由=，解得a=3.4 2 3 6下面用数学归纳法证明当a=3时原式对一切自然数n都成立|(1)n=1时，同上述知等式成立|(2)假设n=k时，等式成立，即+21k 3kk(k 1)(k 2) 4(k 1)(k 2).则当n=k+1 时,11k2 3k+=+k(k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k
2、3) 4(k 1)(k 2)1(k 1)(k2 5k 4) (k 1)2 3(k 1)=.(k 1)(k 2)(k 3) 4(k 1)(k 2)(k 3) 4(k 1)(k 2)(k 3)，当n=k+1时等式成立|由(1)(2)可知当a=3时对nC N*时等式成立|温馨提示要先求得a,这是前提，证明n=k+1时成立是难点，用到假设n=k时成立是关键.二，整除问题【例2】用数学归纳法证明32n+2-8n-9(nC N*)能被64整除I证明:当n=1时,32 1能被 64 整除，则当 n=k+1 时,32(k+1)+2-8(k+1)-9=9 (32k+2-8k-9)+64(k+1)能被 64 整除
3、,.n=k+1时命题成立|由(1)(2)可知对一切自然数32n+2-8n-9能被64整除.温馨提示整除问题常涉及到数或式子整除知识，且n=k+1时式子变形及假设应用是关键.三,证明几何问题【例3】 求证:n(n峨柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)=1n(n3)2证明：(1)当n=4时，四棱柱有2个对角面，结论 成立|,一、一*、一 .、， i(2)假设n=k(kC N ,k的命题成立！1即符合条件的棱枉的对角面有f(k尸一k(k-3)个.现在考虑n=k+1的情形2第k+1条棱Ak+iBk+i与其余和它不相邻的k-2条棱分别增加了 1对角面共k-2个.而面AiBiBkAk 变成了对角面.因此对角
4、面的个数变为f(k)+(k-2)+1= 1 k(k-3)+k-1= - (k2-3k+2k-2)=-222(k-2)(k+1)= 1(k+1) ：(k+1)-3)，即 f(k+1)= 1 (k+1) (k+1)-3成立. 22，对任意n40,结论成立.温馨提示证明几何问题必须要有数学模型，要用到一些几何性质，还需具备良好的思维能力.各个击破类题演练1n 2在用数学归纳法证明1+a+a2+an+1 1 . a*=(aw 1n e N )时，在验证当 n=1时，等式左边为1 一 aD.1 + a+a2+a3()_2A.1B.1 + aC.1 + a+a1a3c斛析：当n=1时，右边=1 + a+a
5、=左边|1 - a答案：c变式提升1如果命题P(n)对n=k时成立，则它对n=k+2也成立，又若P(n)对n=2成立,则下列结论正确的是()A.P(n)对所有正整数n成立B.P(n)对所有正偶数n成立C.P(n)对所有正奇数n成立D.P(n)对所有大于1的正整数n成立解析：当n=2时成立，根据题意n=2+2k时(k%C N)时也成立，故答案为 民答案:B类题演练2用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”第二步归纳假设应该写成()A.假设当n=k(kC N*)时,xk+yk能被x+y整除B.假设当n=2k(kC N*)时,xk+yk能被x+y整除C.假设当n=2k+1(kC N
6、*)时,xk+yk能被x+y整除D.假设当n=2k-1(kC N*)时,xk+yk能被x+y整除解析：为正奇数，N0=1,假设当 n=2k-1(kC N J-答案:D变式提升2用数学归纳法证明当n是非负整数时，34n+2+52n+1能被14整除”的第二步中，为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为()A.34k+2 刈1+52k+134k+2 D.34k+4X9+52k+2X5解析:根据当n=k+1时要用到n=k时假设可知| 答案:类题演练 3在用数学归纳法证明多边形内角和定理时A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立解析:多边形至少为三角形，No=3.答案:C变式提升3平面上有n个圆，其中任意两个圆都相交分？解:当 n=1 时,ai=2；当 n=2 时,a2=4；当 n=3 时,a3二8,，第一步应验证（），任意三圆不共点，试推测n个圆把平面分为多少个部猜想 an=n2-n+2.
