1、精品资源用数学归纳法证明不等式举例课时提升作业、选择题(每小题6分，共18分)欢迎下载111.用数学归纳法证明不等式 +n+1 n+21 13+ 2,n C N+)的过程中，由n=k递推到2n 14n=k+1时不等式左边()A.增加了一项2代+口B.增加了两项C.增加了 B中两项但减少了一项k+1D.以上各种情况均不对111+,n=k+1 时,左边=+2kk+2 k+311【解析】 选C.因为 n=k时，左边=+ +k+l k+2111+ +,2k 上k+l 2k+2,少了一项 k+l11所以增加了两项和2k+l 2k+22.(2016 淮南高二检测)用数学归纳法证明 2nn2+1对于nn0的
2、正整数n都成立时，第步证明中的起始值no应取()A.2B.3C.5D.6【解析】 选C.当nW4时,2n5 时,2nn2+1.于是no应取5.【补偿训练】 用数学归纳法证明2n n2(n 5,n Nk)成立时第二步归纳假设的正确写法是A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(k 6 M)时命题成立C.假设n=k(k 5)时命题成立D.假设n=k(k5)时命题成立【解析】 选C.由题意知n5,n N+,所以应假设n=k(k 5)时命题成立.*3 .（2016 长春局二检测）证明1+, +“（n C N）,假设当n=k时成立,当n=k+1时,2 3 2n-l 2左端增加的项数为（）A.1项C.k项B
3、.k-1 项k【解析】选D.当n=k时，不等式左端为1+1+-+2 3+ +,2k-l 2k+而匕左端增加了 N +1+ - 油1,当n=k+1时，不等式左端为-1，共2k项.1 11+-+-+2 3D.2项二、填空题（每小题6分，共12分）4 .用数学归纳法证明“2n+1 n2+n+2（n N+） ”时，第一步的验证为【解析】当n=1时,2 1+1 12+1+2,即4 4成立.答案：21+1A12+1+2n C N*都成5.(2016 南昌高二检测)已知 1+2X 3+3X 32+4X 33+, +n 3n-1 =3n(na-b)+c 对一切立，则a=,b=,c=【解析】当n=1时,3a-3
4、b+c=1,当 n=2 时,18a-9b+c=7,当 n=3 时,81a-27b+c=34,11解得,a= ,b=c=.1 1 1答案：-2 4 4三、解答题（每小题10分，共30分）1 11 3n6.（2016 广州高二检测）证明：1+1+=+,（n N）.22 32 n- 2n+l【证明】（1）当n=1时，不等式为11,显然成立.（2）假设当n=k时不等式成立，即1 +1 1那么,当 n=k+1 H,1 + +, +22 3-1 113k-T +-T +, +封22 第k22k4113k13k 13k+3k2 +k+lj2，k+i+fk+l 而2k+i+k+以 2k+33k(k+l)a2k
5、F34-(2k+l)(2k+3)-(3k+3)(2k+lMkH2二-J -1 -1.-二 0,3k 13k+3113(k+n+:-k2 (k+1” 2(k+l+l1 1所以1+ +22察即当n=k+1时不等式也成立综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.1 5+(n 2,n N-).3n 61117.(2016 济南高二检测)求证：+n+1 n+2 n+3【解题指南】 本题由n=k到n=k+1时的推证过程中11,n=k时，首项是一，尾项是一，分母是从k+13kk+1开始的连续正整数，因而当n=k+1时，首项应为面增加1叱，111尾项是,与n=k时比较，一后3(k+l)3k,3k+l 3
6、k+2 3k+3共三项，而不只是增加一项，且还减少了一项3(k+l)k+1411 1 1 57 5 _(1)当n=2时，左边+-+-+-=,不等式成立.3 4 5 6 60 6(2)假设n=k(k 2,k M)时，不等式成立，1+即 于k+1 k+2贝U 当 n=k+1 时,+-+W1 (k+i)+23k 3k+l 3k+2 3k+3 k+1 k+21+3k5 +65 +65=+6+不一一+ 3k+2 + 3k+3 (!+ + X3k+33k+33k+3315k+1) k+U 6所以当n=k+1时，不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n 2且nC Z都成立.8.数列a n满足 Sn=
7、2n-a n(n Z).计算a1,a 2,a3,a 4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】由此猜想(1)a 1=1,a2n-l37f52=-,a 3=-,a 4=一,24ean=疝(n e z).(2)当n=1时,a 1=1,结论成立.2k-l假设n=k(k 1)时，结论成立，即ak=?k一 ,那么当n=k+1时,ak+i=S+i-Sk=2(k+1)-a k+i-2k+a k=2+ak-a k+i.所以 2ak+i=2+ak,这表明当n=k+1时，结论成立.所以an=(n C N+).嗨颤）20分钟练/分值：40分一、选择题（每小题5分，共10分）1 111
8、.用数学归纳法证明 ：1+-+-+, +1）第一步验证 n=2时，左边的项为2 32n-l（）A.1B.1 +11 1C-D.1 + -+32 3111 1【解析】 选D.当n=2时，左边最后一项为 ，所以左边的项为1+-.2X2-1 32 32.（2016 济南高二检测）已知数列aj的前n项和为Sn,且Sn=2n-an（n C N*）,若已经算出a1=1,a2=-,则猜想 an=()22n1A.2n1C.33【解析】 选D.因为a1=1,a2=一，由23715S3=1+-+a3=6-a 3,所以 as=-,同理,a 4=.2482口 一 1猜想，得an= m 1 .2口一工n+1B.n*一1
9、D.ai二、填空题（每小题5分，共10分）11193.（2016 太原高二检测）在 ABC中，不等式二+二+二一成立；在四边形 ABCD中，不等式A B C 711111+ABCD16蔡成立;在五边形11111 25ABCD中,不等式一+成立.猜想在n边形AA2, A B C D EA中，类似成立的不等式为【解析】由题中已知不等式可猜想：11 I I 小：、+ +, +(n 3 且 n C N).Ai A34n*、答案： +, +封 ；(n R 3 且 n C N)Ai Ae a3 An (n-2)n4.设a,b均为正实数,n N+,已知M=(a+b) n,N=an+nan-1b,则M,N的大
10、小关系为=(提利由丁 .努二丁二式lx J n【解析】 由贝努利不等式(1+x) 1+nx(x-1,且xw0,ni,n e N+),知当n1时，令x=,所以一，1+n -,即(a+b) nan+nan-1 b, a当 n=1 时,M=N，故 M N.答案：M N三、解答题(每小题10分，共20分)5 .(2016 苏州高二检测)已知函数f(x)= -x3-x,数列an满足条件：ae1,且an+f (an+1),3证明：a n 2n-1(n C N+).【证明】 由 f(x)= -x3-x,得 f (x)=x 2-1.3因此 an+1f (a n + 1) = (a n+1) -1=a n(a
11、n+2). 当n=1时,a 1 n 1=21-1,不等式 成立.(2)假设当n=k(k 1)时，不等式成立，即ak2k-1.当n=k+1时，ak+1 ak(a k+2) (2 k-1)(2 k-1+2)=2 2k-1.又 k1,所以 22kA 2k+1,所以当n=k+1时,a k+1 2k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知，对任意n”an升2n-1都成立.6 .在数列an中,a 1=2,a n+产an+2n+1(n C 6).(1)求证an-2n为等差数列.(2)设数列b n满足 bn=2log 2(a n+1-n).(n 6 M)证明:(1 + )(l+i)(l+ A) I? + K；)+l(n 2.【证明】（1）由an+产an+2n+1得(a n+i-2 )-(a、n-2 )=1,因此a n-2 n是等差数列.(2)a n-2 n=(a i-2)+(n-1)=n1,即 an=2n+n-1, bn=2log 2(a n+1-n)=2n.卜面用数学归纳法证明3 5 72n-H 二一二彳vn + L2 4 6 2n当n=1时,左端=：1)时不等式成立，即2k+l2k西+ 13 5 7 .2 4 6当n=k+1时,2k-bl 2k+32k 2(k-H)2k43|(2k+3)2而yq岖+D=匕.卜我!4k2+12k+9V 4k2+12k-F8n C N+都成立.由知不等式2
