1、精品资源课后导练基础达标1.等式 12+22+32+Tn2=1(5n2-7n+4)()2A.n为任何正整数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立解析：当n=1时，左=1 =右,成立；当n=2时，左=5=右，成立；当n=3时，左=14=右,成立；当n=4时，左=30w 28W，不成立.故答案为B.答案：B2 .平面内原有 k条直线，它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线它们的交点个数最多为()A.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.k f(k)解析:每增加一条直线，它必与其他直线各有一个交点，已有k条.所以增加k个交点，.
2、交点为f(k)+k.答案：B3 .平面上有k(k舔直线，其中有k-1条直线互相平行，剩下一条与它们不平行，则这k条直线 将平面分成区域的个数为()A.kB.k+2C.2kD.2k+2解析:k-1条平行线将平面分为k部分，与其相交一条又将每部分一分为二 .答案:C4 .用数学归纳法证明当n是非负整数时55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步应写成：当n=时,55n+1+45n+2+35n=,能被 11 整除.解析：为非负整数，n0且 nC N.，no=0.代入得 51+42+30=22.答案：0 51+42+30 225 .设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+
3、1)=f(k)+.解析：由内角和公式(n-2)兀得f(k+1)-f(k)=(k-1)升(匕2)产兀答案：冗6 .用数学归纳法证明1+2+22+23+-+25n-1(nCN*)是31的倍数时，从n=k到n=k+1”需添的项是 解析：当 n=k 时，1+2+22+25k-1,当 n=k+1 时,1+2+22+25k-1+25k+-+25(k+1)-1, .增加项为 25k+25k+1 +25k+4.答案：25k+25k+1 +25k+47.设 f(n)=1+n 312n(nC N*),那么 f(n+1)-f(n)等于解析：f(n尸 + + + + + + + 1n 1 n 2 n 3 2nf(n+
4、1)= + + 1 + 1-,n 2 n 3 2n 1 2n 2- f(n+1)-f(n)= -+ - -2n 1 2n 2 n - 11 1=.2n 1 2n 2答案：-2n 1 2n 28 .证明 12-22+32-42+ - +(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1). 证明：(1)当n=1时，左边=12-22=-3,右边=-1 (2 M + 1)=-3，等式成立.(2)假设当 n=k 时，等式成立，即 12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),贝U当 n=k+1 时,12-22+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)
5、+(2k+1)2-(2k+2)2=-(k-1) 2(k+1) +1 .由(1)(2)可知，对任何nCN*,等式成立.129 .已知数列an满足a二 一，且刖n项和Sn满足:Sn=n an,求 an的通项公式，并给出证明.2解：由已知 a1= ,Sn=n2an,a1+a2=4a2,211a2= 一 a1= ,a+a2+a3=9a3.36.泡3=工.同理 a4= 工.12201猜想：an=n(n 1)卜面用数学归纳法加以证明,1 一 11 、 一、当n=1时,a1=，而 =,公式成立21(1 1) 2(2)假设当n=k时，公式成立，即ak=.k(k 1)当n=k+1时，ak+1 = Sk+1-Sk
6、=( k+1) ak+1 -k ak.ak+尸占 ak= . =1,k 2 k 2 k(k 1) (k 1)(k 2)即当n=k+1时，公式也成立.由(1)(2)可知，对任何nCN*公式都成立.综合运用10 .设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+个部分. 答案：2k11 .平面上原有 k个圆，它们的交点个数记为f(k),则增加第k+1个圆后，交点个数最多增加个.答案：2k12 .设数列an满足ai=2,an+i=2an+2,用数学归纳法证明an=4X2n-1-2的第二步中，设n=
7、k时结论 成立，即ak=4 2k-1-2,那么当n=k+1时，.解析：ak+1=2ak+2=2(4 ak-1-2)+2=4X2k-2=4 2(k+1)-1-2.答案：4X2(k+1)-1-213 .设an=(2n+1)(3n+2),求它的前n项和Sn,并用数学归纳法证明结论 解:S1=a1=15;S2=a1+a2=55;S3=a1+a2+a3=132.猜想 Sn= (4n3+13n2+13n).2证明:(1)n=1时显然成立.(2)假设 n=k 时成立，即 Sk= 1(4k3+13k2+13k),2则 Sk+1 =Sk+ak+1=2 (4k3+13k2+13k)+(2k+3)(3k+5)=1(
8、4k3+13k2+13k)+6k2+19k+152=1(4k3+25k2+51k+30)2=1 ：4(k+1)3+13(k+1)2+13(k+1).2当n=k+1时也成立.由(1)(2)知，&= 1 (4n3+13n2+13n)对任意 nCN 成立.2拓展探究14.用数学归纳法证明nC N 时,(2cosx-1)(2cos2x-1) (2cos2n-1 x-1)=2cos2n x 12cosx 1欢迎下载2,2cos2x 1 4cos x -1证明：(1)当n=1时，左式=2cosx-1,右式=2cosx-1,即左式二右式.2cosx 1 2cosx 12 cos 2 k x 12cosx 1，等式成立.(2)假设当 n=k 时等式成立，即(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos夕-1 x-1)=当 n=k+1 时 ，左 式 =(2cosx-1)(2cos2x-1) (2cos2k-1 x-1) (2cos2k x-1)=k2cos2 x 12cosx 1X(2cos2 k x-1)2cos2k .1x12cosx 1一 _ k.4 1 cos(2 2 )x 1k 24-14(cos2 x) -12一2cosx 12cosx - 1n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对n C N时等式成立.
