1、第一章 控制系统的状态空间表达式,一.系统的基本概念,系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。,1-1 状态变量及状态空间表达式,动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。,二. 动态系统的两类数学描述,(1)外部描述
2、外部描述通常称为输入、输出描述，这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。,系统方框图及其变量,(2)内部描述,状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成: 一个是反映系统内部状态变量x1,x2,xn 和输入变量u1,u2,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组; 另一个是表征系统内部状态
3、变量x1,x2,xn及输入变量u1,u2,ur与输出变量y1,y2,ym 转换关系的数学表达式，称为输出方程,其数学表达式的形式为代数方程。,三.状态定义:反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。,四.状态变量1.定义:确定系统状态的一组独立(数目最少)的变量,它对于确定系统的运动状态是必要的,也是充分的.通常记为xi(t),且n阶系统对应n个独立变量.x1(t) xn(t).且有:,表示系统 时刻的状态,2.特点:1)完整性: 状态变量组x(t)可完全表征系统的动力学行为.2)最小性: 状态变量组x(t)中分量个数最少,且分量个数即为系统维数,记为n.,3)独立性: 状态变量组
4、x(t)中xi(t), xj(t)两者线性独立(线性无关).4)多样性: 状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案.但系统的维数是唯一的.5)等价性：两个状态变量组之间只差一个非奇异变换.6)现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量.7)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.,五.状态向量定义:以系统的 n 个独立状态变量 作为分量的向量. 记为,六.状态空间定义:以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间.,七. 状态空间描述例:R、L、C串联电路.,练习,列写网络中以电源电压U(t)作为输入,电容C上的端电压Uc作为输出的状态空间表达式.,1-2 状态空间表达式的模拟结构图,绘制步骤：（
5、1）绘制积分器 （2）画出加法器和放大器 （3）用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。,1.一阶微分方程模拟方框图,2.二维单变量系统状态空间描述模拟方框图,例: 设三阶系统状态空间表达式为,则其状态图为,3.多多(MIMO)系统状态空间描述模拟方框图(P14),小结:系统是几维系统,则对应几个状态方程,即对应几个积分器,积分器的输出就是状态变量.,用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。 建立表达式三个途径：由系统方块图来建立；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。,1-3 状态空间表达式的建立(一),一. 从
6、系统框图出发建立状态空间表达式,例:,解:由图(a)可化成模拟结构图,由(b)图可直接写出状态空间表达式.,练习,二.从系统的机理出发建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：1) 确定系统输入、输出和状态变量；2) 列出方程；3) 消去中间变量；4) 整理成标准的状态和输出方程。,例:列写网络中以电源电压U作为输入,电容C1,C2上的端电压Uc1和Uc2作为输出的状态空间表达式.,1-4 状态空间表达式的建立(二),一.实现问题 将传递函数(阵)或高阶微分方程(组)化为状态空间描述的问题.二.微分方程(传函) 状态空间描述 仍
7、主要讨论SISO系统.,设传函为,试写出相应的状态空间描述,若(1-1)式中m=n,则先用长除法求出d项,即,以下具体介绍几种实现方法,(一)能控规范型实现,小结:我们把具有(4),(5)矩阵方程组形式的系统的状态空间描述,称为能控规范型实现.,画出此形式下系统的模拟框图.,解:选择状态变量：,则状态空间表达式为：,例:设已知系统传函为,求其能控规范型实现.,画出其模拟方框图,(二)能观规范型实现,仍以三阶微分方程为例进行说明.,画出其模拟方框图.,小结:比较能控规范型与能观规范型之间的关系.,画出其模拟结构图.,(三)对角规范型及约旦规范型实现（系统的并联实现）,其模拟结构图如图P.42图1
8、.18 (b)。,例： 用部分分式法将下述传递函数变换为对角规范型状态空间模型,解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为 1=-1 2=-2 3=-3于是有,其中,故可得如下对角规范型状态空间模型,系统模拟图P.43,矩阵的约旦块的定义为,由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diagJ1 J2 Jl,下述矩阵均为约旦矩阵,上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。,例：用部分分式法将下述传递函数
9、变换为约旦型状态空间模型,解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点1=-2和单极点2=-1,于是有,其中,故可得如下约旦型状态空间模型,小结:状态空间表达式建立的几种情况.1.由系统方框图出发建立.2.从物理模型出发建立.3.实现问题.,提出问题:为什么针对同一系统会有不同的实现形式?,在进行状态空间的线性变换中,需要计算矩阵的逆,下面先简要复习一下逆矩阵的计算。补充资料:逆矩阵的计算。常用的逆矩阵计算方法有如下2种:计算伴随矩阵法。初等变换法(三角矩阵变换法)。下面分别介绍。,1-5 状态向量的线性变换,1. 计算伴随矩阵法该方法计算式如下: P-1=adj(P)/|P
10、|其中adj(P)和|P|分别为矩阵P的伴随矩阵和行列式。伴随矩阵的定义与计算如下:,设有矩阵P为,则其伴随矩阵为:,其中pij*则为矩阵P的元素pij的代数余子式。,代数余子式pij*为nn矩阵P去掉第i行第j列余下的n-1行n-1列的行列式值乘以符号。,例 计算下述矩阵的逆矩阵。,计算过程如下: (1) 先计算代数余子式。,(2) 计算伴随矩阵。,(3) 计算行列式值。,(4) 计算逆矩阵。,2. 初等变换法初等变换法(即三角矩阵变换法)求逆矩阵P-1的思想为:将矩阵P与单位矩阵I组成增广矩阵P I。通过对增广矩阵P I作初等行变换,将P I变换成I T,则P-1=T。,初等行变换有如下三
11、种:将某两行交换将某行乘以一非零常数将某行乘以一常数加到另一行,对前述的矩阵P求逆,计算过程例示如下:,一.系统状态空间表达式的非唯一性.,例: 考虑系统,取变换：,状态空间表达式变为：,系统的特征值,n阶线性定常系统,的特征值即为其系统矩阵A的特征值,即特征方程,的根。其中, A为 实数方阵, I为 单位矩阵,称为系统的特征多项式。,二.系统特征值的不变性及系统的不变量,系统特征值的不变性及系统的不变量,设,是n阶方阵A的一个特征值，若存在一个,n维非零向量,，满足,则称 为方阵A对应于特征值 的特征向量。例P35,特征向量,三. 状态空间表达式变换成约旦标准型求解P 的方法A矩阵为任意形式
12、 A矩阵为标准型,A矩阵为任意形式 A矩阵的特征根无重根时 设n维线性定长系统A,B,C具有n个不同的特征值.1,2,n,则相应有n个特征向量p1,p2,pn与之对应且线性无关.因此,我们可构成所需的变换矩阵P,有Ap=p.将状态方程化为对角标准型。,化对角标准型的步骤：,令,A矩阵为任意形式 A矩阵的特征根有重根时,A矩阵为标准型,单位矩阵,(1) A的特征值无重根时，将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵,例: 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形,(2) A的特征值有重根时(3)有共轭复根时P.40,解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=0 2=-1 3=
13、-22. 由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为,3. 计算各矩阵,4. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为,练习,对于SISO线性定常系统,标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统,将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵,可用来表达系统输入与输出间的信息动态传递关系。,1-6 从状态空间表达式求传递函数(阵),一. 传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前,需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各
14、个元素求相应的拉氏变换,那么我们可对矩阵函数和向量函数进行拉氏变换及其拉氏反变换。,SISO系统,MIMO系统 假设多变量系统有r个输入u(t),m个输出y(t),分别记为:,其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。,二.由状态空间表达式求传递函数阵 1.SISO系统,2. MIMO系统,例: 求如下系统的传递函数,解 (1) 先计算逆矩阵C(sI-A)-1B,代数余子式,代数余子式,(2) 由传递函数计算公式可得,三.非奇异变换不改变系统的传函(阵) 同一个系统,对应不同的状态空间描述,但其G(s)却是相同的,即非奇异
15、变换不会改变系统的输入输出特性.,四子系统在各种连接时的传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联串联反馈3种基本组合连接形式表示。下面讨论的由这3种基本组合连接形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵。,1. 并联连接,图1.20 并联连接组合系统方块结构图,设对应于图1.20示的并联连接的组合系统的两个子系统的传递函数阵为,其对应的状态空间表达式分别为,从图1.20可知u1=u2=u y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为,因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之
16、和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此,并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。,2. 串联连接,图1.21 串联连接组合系统方块结构图,设图1.21 所示的串联连接的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连接的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。,从图1.21可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为,相应的输出方程为,即有,因此,由上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为,因此,串联连接组合系统的传递函数阵为
17、串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。,3. 反馈连接,图1.22 反馈连接组合系统方块结构图,-,设对应于图1.22所示的反馈连接组合系统的两个子系统的传递函数阵为,其对应的状态空间模型分别为,从图1.22可知u1=u-y2 u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为,即有,故反馈连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。,Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s)故I+G0(s)
18、F(s)Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)因此,反馈连接组合系统的传递函数阵为G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s),由反馈连接组合系统的连接图1.22可知,U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=I+F(s)G0(s)U1(s)=I+F(s)G0(s) G0(s)-1Y(s)故Y(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1U(s)因此,反馈连接组合系统的传递函数阵又可写为G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1,按图1.22,还可作如下推导,1-7 离散时间系统的状态空间表达式,1离散系统的状
19、态空间模型,连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。类似在连续系统中，从微分方程或传递函数建立状态空间表达式，叫系统的实现。在离散系统中，从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式，也是一种实现。,在具体运用时,可将 微分差分拉氏变换算子Z变换算子相对应,直接利用在1.4节由连续系统的输入输出关系建立状态空间模型的方法,来建立线性离散系统的状态空间模型。 设系统差分方程为：,若选择适当的状态变量就可将其转换成一组一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即,离散系统模拟结构图如图所示：,2离散系统的传递函数阵,可以看出,离散系统状态空间模型对应的传递函数阵与连续系统状态空间模型的传递函数阵形式与结构完全一致。,例：求如下系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)。,解： 由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有,1-8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,我们这里讨论的非线性系统不属于本质非线性系统.其状态空间表达式的建立过程就是将其线性化的过程.,一线性时变系统,从高阶线性时变微分方程推演出状态空间表达式的方法，类似于前述线性定常系统，故略。(P50),二非线性系统,练习,
