1、第二章 点、 直线、 平面 之间 的位 置关系,2.3直线、平面垂直的判定及其性质,课前预习巧设计,名师课堂一点通,创新演练大冲关,读教材填要点,小问题大思维,考点一,考点二,课堂强化,课下检测,2.3.1直线与平面垂直的判定,1直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面内的 直线都 ，就说直线l与平面互相垂直，记作 .直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ,任意一条,垂直,l,垂线,垂面,垂足,(2)图形语言：如图 画直线l与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 (3)符号语言：任意a，都有la .,l,2直线与平面
2、垂直的判定定理 (1) 自然语言：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直 (2)图形语言：如图所示 (3)符号语言： l.,两条相交直线,a，b，abP，la，lb,3直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角如图， 就是斜线AP与平面所成的角 (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是 . (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 . (4)线面角的范围： .,射影,锐角,PAO,90,0,090,1直线与平面垂直的判定定理中若去掉abP，结论 还成立吗？ 提示：不一定，如图正方体中，a，b，la， lb，
3、但l，故定理中的“两条相交直线”是不可 缺少的条件,2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么该 直线与该平面一定垂直吗？ 提示：不一定当直线垂直于平面内的一组平行线时， 该直线与该平面就不一定垂直3两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定 平行吗？反之成立吗？ 提示：不一定平行，因为可相交，也可异面，但反之 成立,例1如图，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC于D，求证：AD平面SBC.,自主解答SA平面ABC，BC平面ABC.SABC.又ACB90，即ACBC.SAACA.BC平面SAC.又AD平面SAC.ADBC.又ADSC，SCBCC.AD平面SBC.,解：SBA
4、E.由例2知AD平面SBC，又SB平面SBC，SBAD，又由条件知DESB，而ADDED.SB平面ADE.AE平面ADE，SBAE.,本例中，若增加条件“过D作DESB交SB于点E，连接AE，”试判断SB与AE是否垂直,1判定直线与平面垂直常用判定定理，其步骤是: (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论 2要证明两直线垂直，常根据线面垂直的定义，只要证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，即：,la.,1如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PA ABBC，E是PC的中
5、点 (1)求证：CDAE； (2)求证：PD平面ABE.,证明：(1)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，CDAC，ACPAA，CD平面PAC，又AE平面PACCDAE.(2)ABBC，ABC60，ACABPA，E是PC中点，AEPC，,由(1)知CD平面PAC，CDAE.AE平面PCD，AEPD，又PA平面ABCD，PAAB.又ABAD，PAADA，AB平面PAD，ABPD，又AEPD，ABAEA，故PD平面ABE.,例2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3.求直线PC与平面ABCD所成的角,自主解答如图，连接AC，因为PA
6、平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，所以PCA是PC与平面ABCD所成的角,求斜线与平面所成的角的步骤: (1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算 (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角 (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算,2在正方体AC1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求： (1)D1B与平面AC所成角的余弦值； (2)EF
7、与平面A1C1所成的角,解：(1)如图所示，连接DB，,D1D平面AC，DB是D1B在平面AC内的射影D1BD即为D1B与平面AC所成的角,(2)E是A1A的中点，A1A平面A1C1，EFA1是EF与平面A1C1所成的角在RtA1EF中F是A1D1的中点，EFA145.,如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA平面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点,(1)求证：BM平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由,巧思对于第(2)问的存在型问题，先假定“存在”并使结论成立，若经推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论为“不存在”,妙解(1)证明：取PD的中点E，连接EM，AE，,BMAE.AE平面PAD，BM平面PAD，BM平面PAD.(2)存在点N，且N是AE中点证明如下：PA平面ABCD，PAAB.而ABAD，PAADA.AB平面PAD.ABPD.PAAD，E是PD中点，PDAE.PD平面ABME.,点击下列图片进入“课堂强化”,点击下列图片进入“课下检测”,
