1、第十三章2 层次分析及模糊综合评价,13.1 层次分析模型深入分析13.2 模糊综合评价,y,13.1 层次分析模型深入分析,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,二. 层次分析法的广泛应用,应用领
2、域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,三. 层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权
3、向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n , = n是A为一致阵的充要条件。,2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,精确计算的复杂和不必要,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法取列向量的算术平均,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:
4、=0，设置精度,2) 计算,3）归一化,5) 计算,简化计算,4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2,3. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A, 权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性最小二乘,线性化对数最小二乘,结果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,成对比较,Ci:Cj (直接比较）,aij 1步强度,aisasj Ci通过Cs 与Cj的比较,aij(2) 2步强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,体现多步累积效应,定理1,特征向量体现
5、多步累积效应,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法,例: 评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。,C1,C2支配元素的数目不等,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配
6、元素数目n1,n2对w(2)加权修正,若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：,5. 残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中的个数,为残缺元素,6. 更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反
7、馈或循环。,例,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,13.2 模糊综合评价,对于指标相关性和筛选的处理,因子分析主成分分析回归分析聚类分析模糊决策,模糊数学,设 为一基本集，若对每个 都指定一个数 则定义模糊子集,（一)模糊集合,称为 的隶属函数， 称为元素 的,隶
8、属度。,模糊数学,模糊统计确定隶属函数的方法：,（二)隶属函数的确定,该方法是先选取一个基本集，然后取其中任一元素xi，再考虑此元素属于集合 的可能性。,模糊数学,模糊集合的 截集是指 中对 的隶属度不小于 的一切元素组成的普通集合。 其定义为：,（三)截集,对于给定的实数 ，定义,为 的 截集，其中， 叫置信水平。,模糊综合评价,什么是事物的模糊性？,指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性”。,(1)清晰的事物每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。,(2)模糊性事物由于人未认识，或有所认识但
9、信息不够丰富，使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。,“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。,“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。,模糊综合评价,很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述。如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等。 评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断对复杂问题分别作出
10、“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度性的模糊评价。,模糊综合评价,多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困难。而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法。 可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。,模糊综合评价,一、模糊综合评价的数学模型,1.模糊数学的产生,至今，数学的发展已经历三代：,（1）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；,（2）第二代数学：
11、统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；,（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。,它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。,Fuzzy Maths ，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)教授发表Fuzzy Sets一文，标志其诞生。,2.模糊数学的任务,（1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；,（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。,一、模糊综合评价的数学模型,给定评价指标因素（着眼点）的有限集合和评语的有限集合,则相对某一单项评价
12、因素u1而言，评价结果可以用评语集合V这一论域上的模糊子集 来描述：,并简记为向量形式,一、模糊综合评价的数学模型,如对教材进行评价，假如评价科学性(u1)、实践性(u2) 、适应性(u3) 、先进性(u4) 、专业性(u5)等方面，则评价指标因素集为,若评价结果划分为“很好” (v1) 、“好” (v2) 、“一般” (v3) 、“差” (v4)四个等级，评语集则为,一、模糊综合评价的数学模型,如只对科学性(u1)一个因素来评定该教材，若采用民意测验的方法，结果16%的人说“很好”，42%的人说“好”， 39%的人说“一般”， 3%的人说“差”，则评价结果可用模糊集 描述,评价结果 是评语集
13、合V这一论域上的模糊子集。,可简记为向量形式,就是对被评对象所做的单因素评价。,一、模糊综合评价的数学模型,然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果。 对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集，记作 。,其中 bj 为V中相应元素的隶属度，且 。,简记为m维向量形式,一、模糊综合评价的数学模型,实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，评价因素集合是因素集U这一论域上的模糊子集，记作 。,简记为n维向量形式,其中 ai 为U中相应元素的隶属度，且 。,一、模糊综合评价的数学模型,一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U这一论
14、域上的一个模糊集合 经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合 ，即,上式即模糊综合评价的数学模型。其中,种评语的可能程度。 模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系。,模糊综合评价的结果，是m 维模糊行向量。,模糊评价因素权重集合，是n维模糊行向量。,从U到V的一个模糊关系，是 矩阵。,表示从第i个因素着眼，做出第j,一、模糊综合评价的数学模型,一、模糊综合评价的数学模型,在综合评价中,常用的广义模糊算子主要有下列3种1)主因素决定型(,)= l()。2)主因素突出型(,)= l()。3)加权平均型(,)=1,=l()。在上述各式中,“”表示称为模糊积;“”表示称为模糊并;“”表示
15、普通积;“”表示模糊有界和。根据分析表明:加权平均型比较接近人们的经验评判,但计算出的结果不明细;主因素决定型信息利用率不高,计算结果偏差变化大;主因素突出型利用信息比较充分。,模糊综合评价的步骤：,设定评价指标因素集U；设定评语集V；确定评价指标权重集 ；用民意测验方法请专家实施评价；建立评价矩阵 ；按数学模型进行综合评价；归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。,一、模糊综合评价的数学模型,二、模糊综合评价的应用,1.用于讲课质量的评估 U = 清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁 V = 很好，较好，一般，不好,归一化：,二、模糊综合评价的应用,2.用于科技成果的评定 U = 水平，
16、成功概率，经济效益 V = 高，中，低,二、模糊综合评价的应用,二、模糊综合评价的应用,综合评价：,归一化：,排序：乙、甲、丙,二、模糊综合评价的应用,3.某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）,二、模糊综合评价的应用,利用市场调查获得模糊评价矩阵：,二、模糊综合评价的应用,4.不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）,设考核因素集为F = f1,f2,f3,f4，评语集为E = e1,e2,e3,e4，因素的权重为WF= 0.35,0.35,0.15,0.15。又设考核集为T=t1,t2，t1表示日常考核，t2表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为0.6,0.4。
17、甲乙两人的日常考核/晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综合评价。,二、模糊综合评价的应用,可得：,设考核因素权重为WT=0.6,0.4,二、模糊综合评价的应用,三、多级模糊总评价,举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题。,评语等级分为5级：好、较好、一般、较差、差,假设已得到以下中间结果：可靠性：维修性：安全性：适应性：,有效性的四个方面的权向量为 ：,则有效性的模糊综合评价结果为 ：,三、多级模糊总评价,假设已得到以下中间结果：威 力：有效性：机动能力：,总体性能的三个方面的权向量为 ：,则总体性能的模糊综合评价结果为 ：,三、多级模糊总评价,系统评价的步骤系统评价是相对的系统评价是决策的依据,小结,1.假设对电视机的评价因素U=图像u1，声音u2，价格u3，评语集合V=很好v1，较好v2，可以v3，不好v4，现请专家10人对三种电视机进行评价，结果如下：,设某类顾客主要关心图像、价格，对音质不太关心，即试对以上三种电视机进行模糊综合评价。,作业,
