1、1 简谐波的数学描述,振动的基本概念,振动 一个物理量在其平衡位置(或平均值)附近作周期性变化。,简谐振动 又称为简谐运动，其特征是振动的物理量随时间 t 的变化具有周期性，而且在每个周期中都按正弦或余弦规律变化，即振动物理量是时间 t 的正弦或余弦函数。,简谐振动表达式,A 振幅，,T 时间周期，, 时间频率，, 时间圆（角）频率，且,0 初相位，即t = 0 时刻的相位,波的基本概念,波动是振动的传播过程，被传播的是一个分布在某一空间范围的物理量，而这个量又是随时间变化的。所以一个波动过程也称为一个波场，波场中各点的振动之间存在着相互关联性。波动的特点是它具有时空周期性。,波函数：描述波动
2、过程中被传播的物理量随空间位置 和时间 t 而变化的函数关系式 。,1.1 一维平面简谐波,简谐波 简谐振动的传播。,平面简谐波 波面是平面的简谐波 。,（1）平面简谐波的波函数,设一维平面简谐波以速度 V 沿 z 轴正方向传播，则其波函数：, 波长，相隔为波长的整数倍的两点具有相同的振动状态。1/称为空间频率，它表示传播方向上单位长度内的波长数。,k = 2/ 空间圆频率或波数，它表示沿传播方向2长度内的波长数。,(z , t)= t kz + 0 波的相位，它是余弦函数的整个自变量。相位决定振动状态，相位恒定则振动状态也一定，在波动过程中，振动状态的传播就是恒定相位状态的传播。,（2）平面
3、简谐波的相速,如果跟踪某一振动状态，则它在不同时刻 t出现于不同地点 z 时应满足：,(z , t)= t kz + 0 = 常量,两边取全微分,某一振动状态或恒定相位状态沿z轴传播的速度称为,相速,在平面简谐波中，相速也就是波函数表达式中的波的传播速度，通常称为波速。波动的时间周期性和空间周期性通过相速Vp相联系。,色散： 在介质中，相速随波长(频率)变化的现象。,下表列出了描述时间周期性物理量和空间周期性物理量之间的对应关系。,（3）平面简谐波的复指数函数形式,为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写成复指数函数形式,可见，复指数函数形式的波函数的实部就是波函数，为简单起见，在书写时可省略表
4、示实数部分的符号Re，而将波函数写成：,它表示沿z轴正方向传播的平面简谐波,采用复指数函数的波函数中，时间相位因子和空间相位因子完全分开，在讨论简谐波场中各点的空间分布时，时间因子 总是相同的，常可略去不写，剩下不含时间的空间分布相因子 叫做复振幅,复振幅,复振幅描述了波场的振幅和它的相对空间相位分布，也称为波场分布。其共轭复数为：,复振幅的共轭复数,光波强度可用下式求得,复指数函数是周期性函数，其周期是2 i，即,m为整数,常用关系式：,欧拉公式：,1.2 三维平面简谐波,设一列波长为的平面简谐波沿矢量 的方向传播， 称为波矢量，其大小等于波沿 方向的空间圆频率(波数) 。,设相邻两波面的距
5、离为波长，某波面上有一点P0，其矢径为 ，且 与 同方向，则其波函数为,该波的波面是垂直于波矢 的平面，如图所示。,式中r0为O至P0的距离,现考察在某一时刻，同一波面上任一点P(x,y,z)的振动，因P与P0处于同一波面，故P与P0点振动相同，则P点的波函数取为：,设O至P的矢径为 ，则有,代入上式得：,波函数在P点的值,若用复指数函数形式表示，则其复振幅为,复振幅,若传播方向的方向余弦为(cos， cos， cos)，则,的三个分量为：,从上式可知，平面简谐波具有两个特点：, 振幅A是常量，它与场点P的坐标无关。, 相位的空间分布是直角坐标的线性函数。,上式中的fx、fy、fz分别称为x、
6、y、z方向的,空间频率,空间周期,空间周期和空间频率的物理意义,例：沿平面上 方向传播的平面简谐波的波长为， 就是沿 方向的空间周期，即相位相差2的波面的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有关。在x轴方向，相距的波面在x轴上的截距为,，同样，这两个波面在y轴上的截距为,，x和y 分别表示在x,在此特例中，波面与z 轴平行，则,综上所述，我们可以得到，一列沿任意 方向传播的平面简谐波的复振幅为：,此式表明，一组空间频率(fx，fy，fz)对应于一定方向传播的单色平面波。不同的空间频率分量组，对应于不同方向传播的单色平面波。,且,空间频率矢量,也叫空间圆频率矢量,此波在直角坐标系中三个坐标轴
7、方向的空间周期，空间频率，空间圆频率列表如下,例2.1一列平面波的传播方向平行于xz平面，与z轴成倾角，写出它在z = 0面上的复振幅分布。,解：,设0=0，则,在波前 z = 0面上,1.3 球面波 傍轴近似和远场近似,所有光源或发光物体都可以看成是由许多点光源组成的，每个点光源向周围空间辐射发散球面波，其波函数为：,振源到场点P的距离,到振源为单位距离的场点的振幅,A(P)=a/r是P点的振幅,在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波前，而实验和应用中大多数是在平面上观察波的分布，所以现在讨论球面波在xy平面上的表示方法。,球面波的点源,P0到P的距离,场点,xy平面到P0的距离,设0=0，
8、则在xy平面上波的复振幅为,当xy平面远离P0点时，常考虑两种近似条件,(1) 傍轴近似，满足条件：x2 + y2 z2,式中,r z,(x , y),在傍轴条件下，发散球面波在xy平面上的复振幅,(费涅耳近似),若是向P点会聚的球面波，则P点的光场表示为,发散球面波,会聚球面波,(费涅耳近似),(2) 远场近似，满足条件： 或,在远场近似下，球面波在xy平面上的复振幅表示,发散球面波,会聚球面波,这两式表示平面波，可见只有同时满足傍轴条件和远场条件，球面波的波前才完全过度到平面波的波前，在此情况下，球面波在xy平面上可近似看成平面波。,单色光的概念：,只含单一频率(波长)的光称为单色光。,在
9、光学中，严格的单色光就是理想的平面简谐波；任何在空间或时间上有限的光波都不是严格的单色光。, 在时间上也是无限延伸的，即在其波函数中，对于任一固定的坐标 z ， t +。,所以，理想的平面简谐波是一种无头无尾，无始无终，在空间和时间上都无限变化的单一频率的波。是在空间各点的振动频率都相同，而且振幅不随时间变化的正弦或余弦波。,理想平面简谐波特点是：, 在空间上是无限延伸的，即在其波函数中，对于任一固定的时刻 t， z +。,另一方面，任何一个非简谐波都可以看成是由许多不同频率，不同振幅的简谐波的叠加结果，这是因为在一般情况下光波遵从波的叠加原理。我们可以利用数学上的傅利叶分析方法有效地进行叠加
10、和分解。,实际的光源发出的都不是严格的单色光波，而是包含各种波长成份。若光波中只包含波长范围很窄的成份，则这种光称为准单色光。通常所说的单色光就是指准单色光。在很多情况下，准单色光可以近似地用平面简谐波来描写。,2 波动方程和叠加原理,波函数所遵循的二阶线性偏微分方程称为波动方程。波函数就是波动偏微分方程在一定边界条件下的解。,一维波动方程,三维波动方程,拉普拉斯算符,波动方程简写,V是波的传播速率,从数理方法中可以知道，用分离变量法可得一维波动方程在一维无界空间的解。,例2.2 证明上式是一维波动方程的解,证明：,比较(2)、(4)两式得,（证毕）,波动方程中，因波函数 ( , t )和它的
11、导数只出现一次幂，所以是线性偏微分方程。凡是线性微分方程描述的系统都称为线性系统。线性齐次微分方程的一个重要特性是它的解满足叠加原理。如果函数1( , t ), 2( , t ), 3( , t ) , m( , t )中，每一个都是波动方程的解，那么这些解的线性组合也将是方程的解。,即, 1 + 2 也是波动方程的一个解。,证明：,根据题意有,两式相加有,例2.3 若1( , t )和2( , t )是一维波动方程的两个解，试证明1( , t )+2( , t )也是方程的一个解。,波的叠加就是空间每点振动的合成,标量波,矢量波,波的叠加原理 当几列光波在空间相遇时，在重叠区域内任意点，任意时刻的合振动都等于每列光波单独存在时各自在该点的振动的合成。,光波的线性叠加原理在真空中是严格成立的；在介质中其适应性是有条件的。这种条件与介质的性质和光强有关。光波在其中遵从叠加原理的介质称为线性介质；否则称为非线性介质。线性叠加原理不成立时的光学现象称为非线性光学现象，研究这种现象的光学称为非线性光学。,
