1、高等数学教案第五章定积分第五章定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形 设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 由直线x a、x b、y 0及曲
2、线y f (x)所围成 的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间a b中任意插入若干个分点a xo x1 x2xn 1 xn b把a b分成n个小区间xo x1 x1 x2 x2 x3xn 1 xn 它们的长度依次为x1x1xox2x2x1xnxnxn1经过每一个分点作平行于 y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间xi 1 xi上任取一点i以xi1 xi为底、f ( i)为高的窄矩形近似替
3、代第i个窄曲边梯形(i 1 2n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nA f ( 1)x1 f ( 2)x2 f ( n ) xnf ( i) xi 1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积 A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此 要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max xi X2xn 于是0所以曲边梯形的面积为相当于令上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零nA lim f ( i) xi0i iv v是时间间隔T i T 2上t的连续函数且v0计算在这2变速直线运动的路程设物
4、体作直线运动已知速度段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T i T 2分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)物体在时间间隔ti内运动的距离近似为S v( i) ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1T 2内所经过的路程 S的近似值具体做法是在时间间隔T i T 2内任意插入若干个分点T 1 to t 1 t 2 tn 1 t n T 2 把T i T 2分成n个小段t 0 t 1 t 1 t 2tn 1 t n各小段时间的长依次为t 1 t 1 t 0 t 2
5、t 2 t 1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为在时间间隔t i 1 t i上任取一个时刻i(ti1个时刻的速度得到部分路程Si的近似值 即i ti)以i时刻的速度V( i)来代替ti1 t i上各26n)S的近似值即Si v( i) ti (i 1 2于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程nS v( i) tii 1求精确值记 max t 1 t 2 tn当 0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程nS lim v( i) ti0i 1求直线x a、x b、y 0设函数y f(x)在区间a b上非负、连续 及曲线y f(x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点a xo x
6、i x2xn 1 xn b把区间a b分成n个小区间x0xixix2x2x3xn 1 xn 记 xixixi1 (i 1 2 n)(2)任取i xi 1 xi以xi 1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为f( i) x (i 1 2 n)所求曲边梯形面积A的近似值为nA f( i) Xi i 1记 max xi X2xn所以曲边梯形面积的精确值为nA lim0f( i) xii 1设物体作直线运动已知速度v v(t)是时间间隔T 1 T 2上t的连续函数且v(t) 0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点T1to t1t2tn 1tnT2把时间间隔T 1 T2分成n个小时间段tot1t
7、1t2tn 1tn记tititi 1 (i 1 2 n)(2)任取i ti 1 ti在时间段ti 1 ti内物体所经过的路程可近似为v( i) ti(i 1 2 n)所求路程S的近似值为nS v( i) ti i 1记 max t1t2tn所求路程的精确值为nS limov( i) ti0 i 1、定积分定义就抽象出下抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括述定积分的定义定义 设函数f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点把区间a b分成n个小区间各小段区间的长依次为a xo xi x2xn 1 xn bx0 xi xi x2xn 1 xnxn xn xn
8、 1作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积xi xi xox2 x2 xi在每个小区间xi 1 xi上任取一个点i (xi 1 ixi)f ( i) xi (i 1 2 n) 并作出和 nS f( i) Xii 1记 max xi X2xn如果不论对a b怎样分法 也不论在小区间xi i Xi上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a b上的定积分记作abf(x)dxbn即f(x)dx lim f( i) xia0i i其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限a b叫做积分区间定义
9、 设函数f(x)在a b上有界 用分点a xo xi x2xn 1 xn b把a b分成n个小区间xoxixix2xn1xn记 xixixi1(i1 2 n)任 i xi i xi (i 1 2 n)作和nS f( i) xii 1记 max xix2xn如果当 0时 上述和式的极限存在且极限值与区间a b的b 分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间a b上的定积分记作 f(x)dxabn即f(x)dx lim f( i) xa0i ib根据定积分的定义曲边梯形的面积为 A f(x)dxa丁2变速直线运动的路程为S T v(t)dtTi说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积
10、分变量的记法无关 即bbbf (x)dx f (t)dt f(u)duaaan(2)和 f( i) xi通常称为f (x)的积分和 i 1(3)如果函数f (x)在a b上的定积分存在我们就说f (x)在区间a b上可积函数f(x)在a b上满足什么条件时f (x)在a b上可积呢？定理1设f (x)在区间a b上连续 则f (x)在a b上可积定理2 设f (x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点则f (x)在a b上可积定积分的几何意义b(在区间a b上 当f(x) 0时 积分f(x)dx在几何上表示由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与ax轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)
11、。时 由曲线y f (x)、两条直线x a、x b与x轴所围成的 曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值f(x)dxnlim0f( i) xinlim f( i) x 0i 1ba f(x)dxa当f (x)既取得正值又取得负值时 的下方如果我们对面积赋以正负号函数f(x)的图形某些部分在 x轴的上方而其它部分在x轴在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分ba f (x)dx的几何意义为它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x a、x b之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分1x2dx0解 把区
12、间0 1分成n等份 分点为和小区间长度为x -(i 1 2 n 1) x l(i 1 2 n) nn取i ：(i 1 2 n)作积分和f(i)xin心211 n nn-1i231n i 11 1 常石n(n1 1)(2n 1i(1因为n当0时n所以1x2dx lim f ( i) xi lim (1 1)(2 )00i 1n 6 n n利定积分的几何意义求积分1例2用定积分的几何意义求0(1 x)dx解：函数y 1 x在区间0 1上的定积分是以y 1 x为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面 积 因为以y 1 x为曲边 以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以1111x)d
13、x11 11022三、定积分的性质两点规定,r b(1)当 a b 时 f(x)dx 0 a当 a b 时 :f(x)dx : f(x)dx性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即bbba【f(x) g(x)dx f(x)dx ag(x)dx aaa证明：bf(x) g (x)dx anlimn f( i) g( i) xi 0i inlim01f ( i) xnlim01g( i) xbba f(x)dx a g (x)dx aa性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即bba kf (x)dx k a f (x)dxbn这是因为kf(x)dx lim kf( i) xa0
14、i inklim f ( i)oi ixibaf(x)dx性质如果将积分区间分成两部分 和即则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论 a b c的相对位置如何总有等式bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx aac成立例如当abc时由于cbca f(x)dx a f(x)dx bf (x)dx于是有ba f(x)dxca f(x)dxcbf (x)dxcbf(x)dx f(x)dx ac性质4如果在区间a b f (x) 1则 bba1dx adx b a性质5如果在区间
15、a b上f (x) 0则 ba f(x)dx 0(a b)推论1如果在区间a b上f (x) g(x)则bbf(x)dx g(x)dx(a b) aa这是因为g (x) f (x) 0从而bbbag(x)dxa f(x)dxag(x)f(x)dx 0aaa所以bbf(x)dx ag(x)dx aabb推论 2 | a f(x)dx| a| f(x)|dx(a b)这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以bbba|f(x)|dxa f (x)dx a|f(x)|dxbb即 | a f (x)dx| a|f(x)|dx|性质6设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值则
16、bm(b a) f (x)dx M (b a) (a b) a证明 因为m f (x) M 所以bbbmdx f (x)dx Mdx aaa从而 b m(b a) f (x)dx M (b a) a性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少 存在一个点使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)这个公式叫做积分中值公式证明由性质6 b m(b a) f (x)dx M (b a) a各项除以ba得1 b , m f(x)dx M baa再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点f()占 a于是两端乘以b a得中值公式f(x)dx f( )(b
17、 a)积分中值公式的几何解释应注意不论ab积分中值公式都成立5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S速度为v v(t) S(t)(v(t) 0)则在时间间隔Ti T2内物体所经过的路程S可表示为_ T2S(T2)S(Ti)及 T v(t)dtT1To即t v(t)dt S(T2) S(Ti)11上式表明速度函数v(t)在区间Ti T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间Ti T2上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间a b上连续 并且设x为a b上的一
18、点 我们把函数f(x)在部分区间a x 上的定积分xaf(x)dx称为积分上限的函数它是区间a b上的函数记为x.x(x) af(x)dx 或(x) af(t)dt定理1如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数x(x) af(x)dx在a b上具有导数并且它的导数为d x，(x) T- af(t)dt f(x)(a x0则同理可证(x) f(a)若x b 取x0证明函数F(x)x0tf(t)dtx0 f (t)dt在(0)内为单调增加函数证明dx：tf(t)dt xf(x)也入对 f(x)故F(x)xxxf(x) 0 f (t)dt f(x)0tf(t)dtxf(x)0(x t)f(t)dt
19、x -2(0 f(t)dt)2x -2(0 f(t)dt)2按假设 当0 t x时f (t)0 (x t)f0 所以xx0 f (t)dt 00(x t)f(t)dt 0从而F (x)0 (x0)这就证明了 F (x)在(0)内为单调增加函数1 t2e t dt例 7.求 lim 一 x 0x2解这是一个零比零型未定式由罗必达法则1t2e t dtcosx2limx2x 0cosx12e t dtx22sin xelim -x 0 2x12e提示设 (x)x 21 e t dt 贝U (cosx)cosx t21 edtd cosx .2d e t dt dx 1dd du u2dx (cos
20、x) du (u)dx e(sinx)sin x e c0s2x(或)上(t)的一个原函数令 cosx t0t5dt10t5dt Kt61。5 3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间a b上连续 函数x(t)满足条件(1)( ) a ( ) b(2)(t)在(或)上具有连续导数且其值域不越出a b则有baf(x)dx f (t) (t)dt这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知f(x)在区间a b上是连续因而是可积的f (t) (t)在区间也是连续的因而是可积的假设F(x)是f (x)的一个原函数则ba f (x)dx F(b) F(a)另一方面因为F (t)
21、 F (t) (t) f (t) (t)所以 F(。是 (t)从而f (t) (t)dt F ( ) F ( ) F(b) F(a)因此 bf(x)dx f (t) (t)dt a例 1 计算:Ja t -sin2t.2 - a2 220 4提示Va2 x2 da2 a2sin2t acost dx a cos t 当 x 0 时 t 0 当 x a 时 t -例 2 计算 02 cos5xsinxdx解令t cos x则 x2dx(a0)即 a 1.-22 . 令x asint角牛 c 、a2 x2dx，acost acostdt00)a2 =a2 n2 cos2tdt - n2 (1 co
22、s2t)dt 02 0 提示当x0时t1当x时t0 22 cos5 xsin xdx2 cos5 xd cosx00-cos60 61cos6 刈 2 1 cos6 60 62例 3 计算 0 Jsin3x sin5xdx解 0 %sin3x sin5xdx30 sin2 x|cosx|dx32202 sin2 xcosxdx32-2,_sin2 xcosxdx 2_30 sin2 xdsin x3_sin2 xd sinx225 _5sin2x0r2 . 2 , sin2 x225 ( 5)提示 ,sin3x sin5 x 3sin3x(1 sin2 x) sin x|cosx|在0, q上
23、 |cos x| cos x 在g,上 |cos x|cos x例4计算：/=2=dx0 , 2x 1x 22x 1tdt令收彳t lx3 21(t23)dt提示 x所以1 1333t3 犯2 31 271弥27 9) (12 333)223t2 12dxtdt例5证明证明aaf (x)dxf (x)在a a上连续且为偶函数a2 0 f (x)dxa因为 a f (x)dxf (x)dxa0 f(x)dx令x tf (x)dx=f (x)dxa0 f(0 af(x)dxa0f( x) f(x)dxat)dt 0f(t)dta0 f( x)dxa0 f (x)dxaa2 f (x)dxa20f(
24、x)dx讨论a右f(x)在a a上连续且为奇函数问a f(x)dx ?提示 若f (x)为奇函数则f ( x) f (x) 0从而aaaf(x)dx 0 f( x) f(x)dx 0例6若f (x)在0 1上连续证明(1) 02 f (sin x)dx 02 f (cosx)dx(2) 0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dx证明(1)令x t则 2_02 f (sin x)dxfsin( t)dt02202 f sin(,t)dt02f(cosx)dx(2)令x t则00 xf (sin x)dx ( t) fsin( t)dt0( t)fsin( t)dt 0( t)f(s
25、int)dtf (sint)dt0 tf (sint)dt0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx所以0 xf (sin x)dxf (sin x)dx例7设函数f(x)x 2xex x 041 X 0 计算 1 f(x 2)dx1xcosx解设x 2 t则4 .2 ,1 f(x 2)dx 1 f(t)dt011 dt11 cost20tet2dtt 0tan J 1 1t22e0提示设x 2 t则dx dt当x 1时t、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间a b上具有连续导数 u (x)、v(x)由b上积分得(uv) u v uv得uv uv uv 式两端在区间abbuv
26、dx uvaaauvdx 或 audvuv*bvdua这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程例1计算buv dxabaudv uvbvduauv*bu vdxa1arcsinxdx o1解 02 arcsin xdx x arcsin x102xd arcsin x1 x2dx0 2 dx12112。，1x2d(1x1 2)121j x2(2o 12例2计算；evxdx1 t2 0ettdtt 12tet01 t20etdt2e Net； 2例 3 设 In02sinnxdx证明(1)当n为正偶数时In(2)当n为大于1的正奇数时In1客证明 In00 tdetsinn xdx02sinn
27、1 xd cosxcos xsinn 1 x 202cosxdsinn 1 x(n 1) 02 cos2 xsinn 2xdx (n 1),(sinn2x sin nx)dx (n 1) 02sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n 由此得n_JIn n12m2m 12m 3 2m 5 3 1 ,-： -In2m 2m 2 2m 4 4 2 02m 2m 2 2m 4 4 212m 1 2m 1 2m 3 5 3而 Io 02dx - I1因此2m 12m2mI 2m 12 sinxdx 102m 3 2m 5 3 1 _2m 2 2m 4 4
28、2 22m 2 2m 4 4 25 32m2m 1 2m 1 2m 3例3设1n o2sinnxdx（n为正整数）证明I 2m 12m 3 2m 5 3 1 _2m 2m 2m 2 2m 4 4 2 2,2m2m22m44 212m 1_2m 12m12m35 3证明 ), sinnxdx ，sinn1xdcosxn 00cosxsinn 1x2 (n 1) 02cos2xsinn 2xdx(n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx(n 1) 02sinn 2xdx (n 1)，sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得nAn In 212m 12m 3，2m 53 1
29、 I12m2m2m 2:2m 44 2 I02m2m22m44 2 IdI 2m 12m1 2m12m35 3 I1特别地I002 dx-12102sinx(dx 1因此2m1 2m32m53 1 _, 2m2m2m22m44 2 2I2m2m22m44 2I2m 12m1 2m12m35 35 4反常积分一、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间a )上连续取ba如果极限b lim f(x)dx b a存在则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a)上的反常积分记彳a f (x)dx即f (x)dx lim bf(x)dx ab a这时也称反常积分 f(x)dx收敛如果上述极限不存在函数f(
30、x)在无穷区间a)上的反常积分f(x)dx就没有意义 此时a称反常积分a f(x)dx发散类似地 设函数f(x)在区间( b 上连续 如果极限lim bf(x)dx(a0)解 n te ptdt te ptdt0 1 tde pt00p1te pt 1 e ptdt0 pp1te pt J2e pt0pplim -1te pt t Ppt 11p 了提小 lim te pt lim 3 tt eptlim t1-r 0 pep例3讨论反常积分-1dx (a0)的敛散性 xp-1dx a xpdx a xlnxap1时paa1 pP 1因此 当p1时 此反常积分收敛其值为1 p甘当p1时此反常积
31、分发散二、无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在区间(a b上连续 而在点a的右邻域内无界blim f (x)dxt a t取0如果极限存在则称此极限为函数f(x)在(a b上的反常积分仍然记作b f(x)dxa这时也称反常积分 :f(x)dx收敛ba f (x)dx Jimbt f (x)dx如果上述极限不存在就称反常积分:f(x)dx发散类似地 设函数f(x)在区间a b)上连续 而在点b的左邻域内无界tlim f (x)dxt b a取0如果极限存在则称此极限为函数f(x)在a b)上的反常积分仍然记作b -.af(x)dx:f (x)dxb .f (x)dx limbf(x)dx 发
32、散 aat b这时也称反常积分 bf(x)dx收敛如果上述极限不存在就称反常积分a设函数f(x)在区间a b上除点c(acb)外连续 而在点c的邻域内无界如果两个反常积分c- bf(x)dx 与 f(x)dxac都收敛则定义bcbaf(x)dx af(x)dx cf(x)dx否则就称反常积分bf(x)dx发散瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点也称为无界定义2 设函数f(x)在区间(a b上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b上的反常积分定 义为bbf (x)dx lim f (x)dxat a t在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地函数f(x)在a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为f (x)dxbf (x)dx limat b函数f(x)在a c) (c b (c为瑕点)上的反常积分定义为bf (x)dx limat ca f (x)dxblim f (x)dx t c t反常积分的计算如果F(x)为f(x)的原函数 则有bf (x)dx limat ab _f (x)dx lim F (x)btt aF(b) lim F(t) F(b) lim F(x)t ax a可采用如下简记形式bf(x)dx F (x)b F(b) li
