1、对数函数例题解析【例1】(1)求函数y= j1og13x二2的定义域.2 2x - I(2)求函数y =1 -loga(x a)(a0,且a* 1)的定义域.已知函数f(x)的定义域是0, 1,求函数y = flog1 (3 x)的定义3域.由3x -2iog1 -； 22 2x - 13x -202x -12x - 仔03x -212x -1x 一 10= fx,二1xW 一21一 x w 121 f 2221X* 2，x 二 x012所求TE义域为x| - x0,log a(x + a) v 1.当a1时，0vx+ava,.函数的定义域为(一a, 0).当0vav1时，x+aa,，函数的定
2、义域为(0, +0).解(3)：f(x)的定义域为0, 1, .函数y = flog1(3 x)有意义,31必须湎足 00 log 1 (3 x) 1,即 10gli & log 1 (3 x) log1 一3333 38 3,8x1,2x0=s 0Vycba B. abcdC. badc D. bcad解 选C,根据同类函数图像的比较，任取一个x1的值，易得ba1dc.故选 C.【例5】 已知log a3log b3,试确定a和b的大小关系.解法一 令 yi=log ax, y2=log bx,log axlog b3,即取 x=3 时，y1y2,所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当
3、 log a3log b30 时，由图像 2. 88,取 x=3,可得 ba1.(2)当 0loga3 10gb3 时，由图像 2. 89,彳0 0ab0 10gb3 时，由图像 2. 810,得 a1b0.解法二由换底公式，化成同底的对数.11. 一当 log a3 10gb30时，得 0, . log 3b log 3a 0,log 3 a 10g3 b:函数y=log 3x为增函数，ba1.11_.当 10gb3loga30时，得log3a,log 3 b log 3 a:函数y=log 3x为增函数，0vavb.1_1.当 loga30l0gb3时，得0 . .log3a 0log3b
4、,log 3 a log 3 b即 a1 b0.a【例6】右a2ba1,则loga bblogb、log ba、logab的大小 aa解.a2ba 1, .0 1, Jogabv00, 0logba 1.由a2 ba1 得a a1-logbblogb- ab-logba顺序是:ab1,故行：loga- 1ogb-1ogbK logab. ba1，小于1分说明 本题解决的思路，是把已知的对数值的正负，或大于 组，即借助0、1作桥梁这个技巧，使问题得以解决.【例71+ x)|的大小.解法一求差比大小.设 0x1,且 aw 1,试比较 110g a(l a)| 与 110g a(1|log a(1
5、-x)| -|log a(1 +x)|lg(1 -x)1 lg(1 x)| lga 一 lga1= 方1(|lg(1 -x)Hlg(1x)|1=(-lg(1-x)-lg(1+x) (.- 01-x10 |lga|log a(1 x)| |log a(1 + x)|解法二求商比较大小|loga(1 -x)| Joga(1 -x), 二1|loga(1 x)| loga(1 x)= llog (1+x)(1 x)|= log1+x(1x)-.1 (1 +x1,而 0v1xv1)1,1 x原式=log (1+x) - = log (1+x) -2 log (1+x) (1 + x) = 11 - x
6、1 - x|log a(1 x)| |log a(1 + x)|【例8】 已知函数f(x) = loga(x+41+x2)(a0,且aw1),判断其 奇偶性.解法一 已知函数的定义域为R,则一xCRf( x) = log a ( jl+ x2 _ x)(.1 x2 -x)( ,1 x2 x)=log a 2一 1 x x221 x -x= lOga2一1 x2 x1= lOga 2一,1 x x=-lOga( 1 x2 x) = -f(x)f(x)是奇函数.解法二已知函数的定义域为R由 f(x) +f( x) = loga(v1+ x2 +x) + log(v1+ x2 x)= loga( .
7、1+x2 x)( 1+ x2 一 x)=log a1=0f(x)= -f(x),即 f(x)为奇函数.1）上是增函数x 一一 、4【例9】(1)已知函数f(x) = log2,那么匕在(0,1 -x还是减函数？并证明.(2)讨论函数y=log a(a x1)的单调性其中 a0,且aw1. 证明 方法一 f(x)在(0, 1)上是增函数.设任取两个值 x1，x2 e (0 , 1),且x1x2.x1, x2 f(x1)-f(x2) =log2 7-log2 71 一 x11 x2x1=10g21 -x1x1(1 - x2)x20g 2x2(1-x1)1 -x2x1 一x、x2 _xx2=log2
8、 log2 = 0x2 一x1x2x2 -xx2(.1 0x1 x2 1 ,x1 x1x20, y1og2u在(0,1u = 1- 在(0, 1)上是增函数，又二 x 7x+ 0)上是增函数，f(x) = log 2在(0, 1)上是增函数.1 - x(2)解 由对数函数性质， 知ax- 1 0,即ax1,于是，当0vav1时, 函数的定义域为(一,0),当ai时，定义域为(0, +8).当0vav1时，u=ax1在(00, 0)上是减函数，而 y=log au也是减函数，y=log a(ax1)在(8, 0)上是增函数.当a1时，u=ax1在(0 , + )上是增函数，而y=log au也是
9、增函数, y= log a(ax-1)在(0 , 十0)上是增函数.综上所述，函数y=loga(ax1)在其定义域上是增函数.【例 10(1)设 0V a 1,实数 x、y 满足 log ax+ 3log xa- log xy=3,-2如果y有最大值 手,求这时a与x的值.(2)讨论函数f(x) = - log 2 x - 3log 1 x- 2的单调性及值域.2 2解(1)由已知，得logax+八3.2 ,3logax+ 3= （log ax金）+3 log a y c ,2 =3,logay = logax- aalog ax loga x34 2 ,0 a0, tCR,且t =l0glx是（0,+00）上的22减函数.3.-,40 ）上的c一3 .f(t) = t2 3t 2是(一0,-金上的增函数，是-减函数.t= 3时，x = 2V22函数f（x） = log；x310glx 2在（0, 2&上是增函数，在2,+ )上是减函数.3 c 1. . 一1又 f(X)= (t+ -)2+ , 值域是(一8,-.244
