1、精品资源课 题： 10 4 二项式定理 (四 )教学目的：1 掌握二项式定理和二项式系数的性质，2. 能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学重点： 如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点： 如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1二项式定理及其特例：（ 1） ( a b) nCn0anCn1 an bCnr an r brCnnbn (n N ) ，（ 2） (1 x)n1 Cn1 xCnr xrxn .2二项展开式的通项公式：Tr 1Cnr an r br3
2、求常数项、有理项和系数最大的项 时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）(ab) n 展开式的二项式系数，当n 依次取 1,2,3 时，二项式系数表， 表中每行两端都是 1，除 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：(a b) n 展开式的二项式系数是Cn0 ，Cn1 ，Cn2 ，Cnn Cnr可以看成以 r 为自变量的函数f (r ) ，定义域是 0,1, 2, , n ，例当 n6 时，其图象是 7 个孤立的点（如图）（ 1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnn m ）直线 rn是图
3、象的对称轴2n（ 2）增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项Cn2 取得最大值；当n 是奇数欢下载精品资源n 1n 1时，中间两项 Cn2， Cn2取得最大值（ 3）各二项式系数和： (1 x) n1 Cn1 xCnr xrxn ，令 x 1 ，则 2nCn0Cn1Cn2CnrCnn二、讲解范例：例 1 设 1 x1 x21 x3na0 a1x a2 x2an xn ，1 x当 a0 a1a2an254时，求 n的值解：令 x1 得：a0 a1a2an2 22232n2(2 n1)254，21 2n 128, n 7 ，点评： 对于 f (x)a0 ( x a)na1( xa) n 1an
4、 ，令x a1,即 x a 1可得各项系数的和a0a1a2an 的值；令 xa1,即 xa 1 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例 2 求证： Cn12C n23Cn3nCnnn 2n 1 证（法一）倒序相加：设SCn12C n23Cn3nCnn又 SnCnn(n 1)Cnn 1(n 2)C nn 22Cn2Cn1 CnrCnn r ， Cn0Cnn ,Cn1Cnn 1 ,，由 +得：2Sn Cn0Cn1Cn2Cnn， S1 n 2nn 2n 1 ，即 Cn12Cn23Cn3nCnnn 2n 1 2（法二）：左边各组合数的通项为rC nrrn!n (n 1)!nCnr11 ，r !( nr
5、)! ( r1)!( nr )!欢下载精品资源 Cn12Cn23Cn3nCnnn Cn0 1Cn1 1 Cn2 2Cnn 11n 2n 1 2例 3已知： ( x33x2 )n 的展开式中， 各项系数和比它的二项式系数和大992 （ 1）求展开式中二项式系数最大的项；（ 2）求展开式中系数最大的项解：令 x1 ，则展开式中各项系数和为(13)n22 n ，又展开式中二项式系数和为2n ， 22 n2n992 ， n5（ 1） n5 ，展开式共6 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，2222 T3C52 ( x 3 )3 (3x2 )290x6 ， T4C53 (x 3 )2 (3x2 )32
6、70x 3 ，2104r（ 2）设展开式中第 r1 项系数最大，则 Tr1 C5r ( x3 )5r (3x2 ) r3r C5r x3，3r C5r3r 1C5r 17r9 ， r4，3r 1C5r 13r C5r22226即展开式中第 5 项系数最大， TC4( x3 )(3x2 )4405x 355例 4 已知 Sn2nCn1 2n 1Cn2 2n 2Cnn 1 2 1(n N) ，求证：当 n 为偶数时， Sn4n1能被 64整除分析：由二项式定理的逆用化简Sn ，再把 Sn 4n 1变形，化为含有因数64的多项式 Sn2nCn1 2n 1Cn2 2n 2Cnn 1 2 1 (2 1)
7、n3n ， Sn4n13n4n1 ， n 为偶数，设 n2k （ k N *）， Sn4n132k8k1 (81)k8k1Ck0 8kCk1 8k 1Ckk 18 1 8k 1(Ck08kC818k 1Ck2 )82 （ ） ，欢下载精品资源当 k =1时，Sn410显然能被64 整除，n当 k2时，（）式能被64 整除，所以，当 n 为偶数时， Sn4n1能被 64 整除三、课堂练习 ：1x14x15展开式中 x4的系数为，各项系数之和为2多项式 f ( x)Cn1 (x1) Cn2 ( x1)2Cn3 (x1)3Cnn ( x1)n（ n6 ）的展开式中，x6的系数为3 若二项式 (3 x
8、21)n （ nN）的展开式中含有常数项，则n 的最小值2 x3为（ ）A.4B.5C.6D.84某企业欲实现在今后10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）A. 低于 5B.在 5 6之间C. 在 6 8之间D.在 8以上5在 (1x) n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则 (1x2 ) n 等于（ ）A.0B.pqC.p2q2D.p2q26求和： 1a Cn01a2Cn1 1a31a41n1an 1Cnn Cn2Cn31a1a1a1a1a7求证：当 nN且 n2 时， 3n2n 1 n2 108求2x的展开式中系数最大的项答案： 1. 45,
9、 02. 0提示： f x xn 1 n 63. B4. C5. D6.n 1a 1 a7. (略 )8.T3 115360x3欢下载精品资源四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：16 x251已知 ( a21)n 展开式中的各项系数的和等于1的展开式的常数5x项，而 (a21)n展开式的系数的最大的项等于54 ，求 a 的值 (a R)答案： a3591413a13 x1 a142设 1 x 3 2xa0 x 1a1 x 1求： a0a1a14 a1a3a13 答案： 3919683 ；3935996323求值： 2C90C912C92C932C94C952C96C972C98C99 答案： 282564设 f ( x)( x2x1)9 (2x1)6 ，试求 f ( x) 的展开式中：（ 1）所有项的系数和；（ 2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（ 1） 36729 ；（ 2）所有偶次项的系数和为3612364 ；361365所有奇次项的系数和为2六、板书设计（略）七、课后记：欢下载
